Teilmengendefinition: B \subseteq A \iff \forall x \in B : x \in AB⊆A⟺∀x∈B:x∈A (BB heißt Teilmenge von AA, wenn alle xx in BB auch in AA sind)
Injektion, Surjektion, Bijektion für f : A \to Bf:A→B:
Injektion: \forall x,y \in A, x \neq y: f(x) \neq f(y)∀x,y∈A,x=y:f(x)=f(y) (für jedes y \in By∈B gibt es höchstens ein Urbild)
anders: aus f(x) = f(y)f(x)=f(y) folgt stets x = yx=y
Surjektion: \forall y \in B \; \exists x \in A : f(x) = y∀y∈B∃x∈A:f(x)=y (für jedes y \in By∈B gibt es mindestens ein Urbild)
Bijektion: ff ist injektiv und surjektiv (für jedes y \in By∈B gibt es genau ein Urbild)
Kardinalitäten:
|A| \leq |B| \iff \exists∣A∣≤∣B∣⟺∃ Injektion f : A \to Bf:A→B
|A| = |B| \iff \exists∣A∣=∣B∣⟺∃ Bijektion f : A \to Bf:A→B
|A| < |B| \iff \exists∣A∣<∣B∣⟺∃ Injektion f : A \to Bf:A→B aber keine Injektion g : B \to Ag:B→A
Auswahlaxiom: \exists∃ Surjektion f : A \to B \iff \existsf:A→B⟺∃ Injektion g : B \to Ag:B→A (eine Surjektion von AA in BB existiert genau dann, wenn eine Injektion von BB in AA existiert)
Satz von Cantor: sind f : A \to Bf:A→B und g: B \to Ag:B→A injektiv, dann ist h : A \to Bh:A→Bbijektiv (|A| = |B|∣A∣=∣B∣)
abzählbar unendliche Mengen: eine Menge AA heißt abzählbar unendlich, wenn |A| = |\N| = \aleph_0∣A∣=∣N∣=ℵ0 (alef null)
Körper: ein Ring (K, +, \cdot)(K,+,⋅) mit Einselement 1 heißt Körper, falls folgendes gilt:
(K, +)(K,+)abelsche Gruppe (neutrales Element 0)
Abgeschlossenheit: K \times K \to KK×K→K
Assoziativität: \forall a,b,c \in K: (a+b)+c = a + (b+c)∀a,b,c∈K:(a+b)+c=a+(b+c)
neutrales Element: \exists 0\in K \; \forall a \in K: 0 + x = x = x + 0∃0∈K∀a∈K:0+x=x=x+0
Inverses: \forall a \in K \; \exists b \in K : a + b = 0 = b + a∀a∈K∃b∈K:a+b=0=b+a (eindeutig)
Kommutativität: \forall a,b \in K : a + b = b + a∀a,b∈K:a+b=b+a
(K \backslash \{0\}, \cdot)(K\{0},⋅)abelsche Gruppe (neutrales Element 1)
Abgeschlossenheit: K \times K \to KK×K→K
Assoziativität: \forall a,b,c \in K: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)∀a,b,c∈K:(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
neutrales Element: \exists 1\in K \; \forall a \in K: 1 \cdot x = x = x \cdot 1∃1∈K∀a∈K:1⋅x=x=x⋅1
Inverses: \forall a \in K \; \exists b \in K : a \cdot b = 1 = b \cdot a∀a∈K∃b∈K:a⋅b=1=b⋅a (eindeutig)
Kommutativität: \forall a,b \in K : a \cdot b = b \cdot a∀a,b∈K:a⋅b=b⋅a
Distributivgesetze, \forall a,b,c \in K∀a,b,c∈K:
a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
angeordnete Körper: ein Körper KK, auf dem eine Totalordnung\leq≤ definiert ist, so dass...
\forall a \in K: a > 0∀a∈K:a>0 oder a < 0a<0 oder a = 0a=0 (genau eins darf gelten)
\forall a,b \in K: a, b > 0 \implies a + b, a \cdot b > 0∀a,b∈K:a,b>0⟹a+b,a⋅b>0
\forall a,b \in K: a > b \iff a - b > 0∀a,b∈K:a>b⟺a−b>0
anders: ein Körper heißt angeordnet, wenn \forall a,b,c \in K∀a,b,c∈K die Anordnungsaxiome gelten:
a \leq b \implies a + c \leq b + ca≤b⟹a+c≤b+c
0 \leq a \; \land \; 0 \leq b \implies 0 \leq a \cdot b0≤a∧0≤b⟹0≤a⋅b (alternativ a \leq b \; \land \; 0 \leq c \implies a \cdot c \leq b \cdot ca≤b∧0≤c⟹a⋅c≤b⋅c)
Eigenschaften eines angeordneten Körpers (Ungleichungsregeln):
das Negative eines positiven Elements ist negativ und das Negative eines negativen Elements ist positiv
\forall a \in K, a \neq 0:∀a∈K,a=0: entweder -a < 0 < a−a<0<a oder a < 0 < -aa<0<−a
man darf Ungleichungen addieren: a \leq b, c \leq d \implies a + c \leq b + da≤b,c≤d⟹a+c≤b+d
man darf Ungleichungen mit positiven Elementen multiplizieren: a \leq b, 0 \leq c \implies ac \leq bca≤b,0≤c⟹ac≤bc
Quadratzahlen sind nichtnegativ: 0 \leq a^20≤a2
jede Summe von Quadraten ist nichtnegativ
jede Summe von Einsen ist positiv: 0 < 1 + 1 + ... + 10<1+1+...+1
Beispiele:
\NN ist kein Körper, da für ein beliebiges xx das Inverse -x−x nicht in \NN enthalten ist
\ZZ ist kein Körper, da für ein beliebiges xx das Inverse \frac{1}{x}x1 nicht in \ZZ enthalten ist
\RR und jeder Teilkörper von \RR sind angeordnete Körper
\mathbb{C}C ist kein angeordneter Körper, da i^2 = -1i2=−1, -1 < 0−1<0 und 0 \leq a^2 \; \forall a0≤a2∀a, aber 0 \leq i^2 \equiv 0 \leq -10≤i2≡0≤−1 zu einem Widerspruch führt
Intervalle:
geschlossen: [a, b] = \{x \in \R: a \leq x \leq b\}[a,b]={x∈R:a≤x≤b}
offen: (a, b) = \{x \in \R: a < x < b\}(a,b)={x∈R:a<x<b}
obere Schranke: ein Element b \in Mb∈M heißt obere Schranke von MM, wenn \forall x \in M: x \leq b∀x∈M:x≤b
untere Schranke: ein Element b \in Mb∈M heißt untere Schranke von MM, wenn \forall x \in M: b \leq x∀x∈M:b≤x
nach oben bzw. unten beschränkte Menge: wenn eine obere (untere) Schranke von MM existiert, heißt MM nach oben (unten) beschränkt (\exists k \in \R \; \forall s \in M : k \geq s∃k∈R∀s∈M:k≥s bzw. k \leq sk≤s)
nach oben bzw. unten unbeschränkte Menge: ist MM nicht nach oben (unten) beschränkt, so heißt MM nach oben (unten) unbeschränkt (\nexists k \in \R \; \forall s \in M : k \geq s∄k∈R∀s∈M:k≥s bzw. k \leq sk≤s)
beschränkte Menge: MM ist nach oben und unten beschränkt, also liegt MM in einem endlichen Interval (\exists R \in \R \; \forall s \in M : |s| < R∃R∈R∀s∈M:∣s∣<R)
Supremum\sup(M)sup(M): ein Element b \in \Rb∈R heißt Supremum von MM, wenn bb eine kleinste obere Schranke von MM ist (\forall∀ obere Schranke xx von MM: b \leq xb≤x)
Infimum\inf(M)inf(M): ein Element b \in \Rb∈R heißt Infimum von MM, wenn bb eine größte untere Schranke von MM ist (\forall∀ untere Schranke xx von MM: b \geq xb≥x)
Maximum\max(M)max(M): falls MM nach oben beschränkt und das Supremum von MM in MM enthalten ist, bezeichnet man das Supremum auch als Maximum von MM
Minimum\min(M)min(M):falls MM nach unten beschränkt und das Infimum von MM in MM enthalten ist, bezeichnet man das Infimum auch als Minimum von MM
Eigenschaften für M \subseteq \RM⊆R:
MMnach oben beschränkt und nicht leer\implies M⟹M besitzt ein Supremum
MMnach unten beschränkt und nicht leer\implies M⟹M besitzt ein Infimum
Regeln für Supremum / Infimum: für A, B \subseteq \RA,B⊆R mit \sup(A), \sup(B) \in \Rsup(A),sup(B)∈R gelten...
\sup(A + B) = \sup(A) + \sup(B)sup(A+B)=sup(A)+sup(B) für A + B = \{a + b : a \in A, b \in B\}A+B={a+b:a∈A,b∈B}
\inf(A + B) = \inf(A) + \inf(B)inf(A+B)=inf(A)+inf(B)
\lambda \geq 0 \implies \sup(\lambda A) = \lambda \sup (A)λ≥0⟹sup(λA)=λsup(A) für \lambda A = \{\lambda a : a \in A\}λA={λa:a∈A}
\lambda \geq 0 \implies \inf(\lambda A) = \lambda \inf (A)λ≥0⟹inf(λA)=λinf(A)
A, B \subseteq [0, \infty) \implies \sup(A \cdot B) = \sup(A) \cdot \sup(B)A,B⊆[0,∞)⟹sup(A⋅B)=sup(A)⋅sup(B) für A \cdot B = \{a \cdot b : a \in A, b \in B\}A⋅B={a⋅b:a∈A,b∈B}
\inf(A \cdot B) = \inf(A) \cdot \inf(B)inf(A⋅B)=inf(A)⋅inf(B)
A \subseteq B \implies \sup(A) \leq \sup(B)A⊆B⟹sup(A)≤sup(B)
(!) \inf(A) \geq \inf(B)inf(A)≥inf(B)
\sup(-A) = -\inf(A)sup(−A)=−inf(A) für -A = \{- a : a \in A\}−A={−a:a∈A}
\inf(-A) = -\sup(A)inf(−A)=−sup(A)
eine Funktion f : A \to Bf:A→B ist...
nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl s \in \Rs∈R gibt, so dass \forall x \in A: f(x) \leq s∀x∈A:f(x)≤s
ss ist obere Schranke von ff
die kleinste obere Schranke ist das Supremum von ff
nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl s \in \Rs∈R gibt, so dass \forall x \in A: f(x) \geq s∀x∈A:f(x)≥s
ss ist untere Schranke von ff
die größte untere Schranke ist das Infimum von ff
vollständige angeordnete Körper: ein angeordneter Körper KK heißt vollständig, falls...
jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt
jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge ein Infimum besitzt
Axiom: seien A,B \subseteq KA,B⊆K nicht leer und \forall a\in A, b \in B: a < b∀a∈A,b∈B:a<b, dann \exists c \in K: a \leq c \leq b \; \forall a \in A, b \in B∃c∈K:a≤c≤b∀a∈A,b∈B
Vollständigkeitsaxiom: \RR ist vollständig (genauer: \RR ist der einzige vollständige angeordnete Körper)
jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge der reelen Zahlen besitzt ein Supremum (M \subseteq \R, M \neq \emptyset, \exists b \in \R \; \forall x \in M: x \leq b \implies \exists \sup(M)M⊆R,M=∅,∃b∈R∀x∈M:x≤b⟹∃sup(M))
jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge der reelen Zahlen besitzt ein Infimum (M \subseteq \R, M \neq \emptyset, \exists b \in \R \; \forall x \in M: x \geq b \implies \exists \inf(M)M⊆R,M=∅,∃b∈R∀x∈M:x≥b⟹∃inf(M))
\sup\{(-1)^n - \frac1n : n \in \N\} = 1sup{(−1)n−n1:n∈N}=1
\sup \Z = +\inftysupZ=+∞
Offene und abgeschlossene reele Mengen
Umgebung: ein offenes Interval (a,b)(a,b), wofür x \in (a,b)x∈(a,b) gilt, heißt Umgebung von xx
für ein \delta > 0δ>0 heißt das offene Interval (x - \delta, x + \delta)(x−δ,x+δ) die \deltaδ-Umgebung von xx
offene Mengen: eine Menge MM ist offen, falls es für jedes xx aus MM eine reele Zahl \epsilon > 0ϵ>0 gibt, so dass jeder Punkt y \in \Ry∈R, dessen Abstand zu xx kleiner ist als \epsilonϵ, in MM liegt
anschaulich: eine Menge ist offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind
Beispiel: (0,1)(0,1)
abgeschlossene Mengen: eine Menge MM ist abgeschlossen, falls ihr Komplement offen ist (\R \backslash MR\M ist offen)
Beispiel: [0,1][0,1]
Bemerkungen:
Theorem: falls MM gleichzeitig offen und abgeschlossen ist, ist M = \emptysetM=∅ oder M = \RM=R
\RR ist offen, dabei ist \emptyset∅ abgeschlossen
\emptyset∅ ist offen, dabei ist \RR abgeschlossen
jedes offene Interval ist eine offene Menge
die Vereinigung offener Mengen ist eine offene Menge
jedes abgeschlossene Interval ist eine abgeschlossene Menge
jede endliche Menge ist abgeschlossen
a < ba<b: das Interval [a,b)[a,b) ist weder offen, noch abgeschlossen
Gegenbeispiel: a_k = (-1)^k = (-1, 1, -1, 1, ...)ak=(−1)k=(−1,1,−1,1,...) ist weder monoton fallend noch steigend (also insgesamt nicht monoton)
Beschränktheit:
eine Folge heißt nach oben / unten beschränkt, wenn sie eine obere / untere SchrankeSS besitzt, so dass \forall i \in \N: a_i \leq S∀i∈N:ai≤S bzw. \forall i \in \N: a_i \geq S∀i∈N:ai≥S
die kleinste obere Schranke / größte untere Schranke einer Folge heißt das Supremum / Infimum
eine Folge heißt beschränkt, wenn sie zugleich nach oben und nach unten beschränkt ist
äquivalent: a_nan heißt beschränkt, falls die Menge \{a_n : n \in \N\}{an:n∈N} beschränkt ist
äquivalent²: \exists K > 0 \; \forall n \in \N: |a_n| \leq K∃K>0∀n∈N:∣an∣≤K
Satz für Beschränktheit von konvergenten Folgen: jede konvergente Folge ist beschränkt (aber nicht umgekehrt!)
Beweis:
sei \lim_{n\to\infty}a_n = alimn→∞an=a
wegen Konvergenz existiert ein N \in \NN∈N mit |a_n - a| < 1∣an−a∣<1 für \epsilon = 1, n \geq Nϵ=1,n≥N
seien t = \min\{a_0, a_1, ..., a_{N-1},a-1\}t=min{a0,a1,...,aN−1,a−1} und s = \max\{a_0, a_1, ..., a_{n_0-1}, a+1\}s=max{a0,a1,...,an0−1,a+1}
somit gilt t \leq a_n \leq st≤an≤s für alle Folgenglieder \implies (a_n)⟹(an) ist beschränkt
REZEPT: Nachweis der Beschränktheit bzw. Monotonie:
wenn alle Folgeglieder positiv / negativ sind, ist die Folge durch 0 nach unten / oben beschränkt
Monotonie und Beschränktheit können intuitiv vermutet werden und per Induktion bewiesen werden
Grenzwert / Limes: der Grenzwert ist eine Zahl, der die Folgeglieder beliebig nahekommen
formal: a \in \Ra∈R heißt Grenzwert von (a_n)_{n \in \N}(an)n∈N, falls zu jedem \epsilon > 0ϵ>0 ein N \in \NN∈N existiert, so dass stets |a_n - a| < \epsilon∣an−a∣<ϵ gilt, falls n \geq Nn≥N
anders: \epsilonϵ ist eine beliebig kleine positive Zahl; es ist dann stets möglich, ein genügend großes NN zu finden, dass a_NaN und alle darauf folgenden Glieder die Bedingung erfüllen
\lim_{n \to \infty}a_n = a \iff \forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \N \; \forall n \geq N : |a_n - a| < \epsilonlimn→∞an=a⟺∀ϵ>0∃N∈N∀n≥N:∣an−a∣<ϵ
Schreibweisen: \lim_{n \to \infty} a_n = alimn→∞an=a oder kurz a_n \to aan→a (die Folge a_nankonvergiert gegen aa)
Konvergenz / Divergenz:
die Folge a_nan konvergiert, wenn der Grenzwert aa existiert
die Folge a_nan divergiert, wenn kein Grenzwert aa existiert (bestimmta \to \pm \inftya→±∞, z.B. a_n = nan=n, oder unbestimmt, z.B. a_n = (-1)^nan=(−1)n)
Eindeutigkeit des Grenzwertes: wenn die Folge a_nan einen Grenzwert aa besitzt, ist dieser eindeutig
Beweis:
seien a, ba,b zwei Grenzwerte von a_nan, a \neq ba=b
wähle \epsilon < \frac12|a-b|ϵ<21∣a−b∣, |a-b| > 0∣a−b∣>0 und betrachte die Umgebungen (a - \epsilon, a + \epsilon), (b - \epsilon, b + \epsilon)(a−ϵ,a+ϵ),(b−ϵ,b+ϵ)
(a - \epsilon, a + \epsilon) \cap (b - \epsilon, b + \epsilon) = \emptyset(a−ϵ,a+ϵ)∩(b−ϵ,b+ϵ)=∅, aber nach Definition des Grenzwertes müssen ab einem bestimmten Index alle Folgeglieder in der \epsilonϵ-Umgebung des Grenzwertes liegen, was nur dann möglich wäre, wenn a = ba=b
Lemma: für x_n \to x, y_n \to yxn→x,yn→y, falls \forall n : x_n \leq y_n∀n:xn≤yn, dann x \leq yx≤y
bestimmte Divergenz gegen \pm \infty±∞: bestimmte Divergenz liegt genau dann vor, wenn eine Folge a_nan jede reele Zahl irgendwann überschreitet / unterschreitet und dann darüber / darunter bleibt
formal: \forall M \in \R \; \exists N \in \N \; \forall n > N: a_n > M∀M∈R∃N∈N∀n>N:an>M bzw. \forall M \in \R \; \exists N \in \N \; \forall n > N: a_n < M∀M∈R∃N∈N∀n>N:an<M
Rechenregeln / Hilfsmittel für Grenzwerte:
für \lim_{n \to \infty} a_n = alimn→∞an=a gelten für jedes c \in \Rc∈R...
\lim_{n \to \infty} ca_n = calimn→∞can=ca
\lim_{n \to \infty}(c+a_n) = c +alimn→∞(c+an)=c+a
\lim_{n \to \infty}(c-a_n) = c - alimn→∞(c−an)=c−a
\lim_{n \to \infty}\frac c{a_n} = \frac c alimn→∞anc=ac für a \neq 0a=0
\lim_{n \to \infty}(\sqrt{a_n}) = \sqrt alimn→∞(an)=a falls a_n \geq 0an≥0 für alle nn
für \lim_{n \to \infty} a_n = alimn→∞an=a und \lim_{n \to \infty} b_n = blimn→∞bn=b gelten...
\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = a + blimn→∞(an+bn)=a+b
\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = a - blimn→∞(an−bn)=a−b
\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac a blimn→∞bnan=ba für b \neq 0b=0
\lim_{n \to \infty}|a_n| = |a|limn→∞∣an∣=∣a∣
wichtige Grenzwerte:
\lim_{n \to \infty} \frac 1 n = 0limn→∞n1=0
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = 1limn→∞nn=1
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac z n\right)^n = e^z, \; z \in \mathbb{C}limn→∞(1+nz)n=ez,z∈C
\lim_{n \to \infty} n(a^\frac{1}{n}-1) = \ln a, \; a \in \R_{>0}limn→∞n(an1−1)=lna,a∈R>0
REZEPT: Grenzwerte für rekursive Folgen:
zeige, dass (a_n)_n(an)n konvergiert (z.B. dadurch, dass die Folge beschränkt und monoton ist)
stelle Fixpunktgleichung auf (ersetze a_{n+1}an+1 und a_nan durch aa)
löse Fixpunktgleichung
eliminiere Werte von aa, die nicht möglich sind
Beispiel:
sei a_0 = 1a0=1 und a_{n+1} = \sqrt{2a_n}an+1=2an
a_nan ist beschränkt (0 \leq a_n \leq 20≤an≤2, z.B. Induktion) und monoton wachsend
Fixpunktgleichung: a = \sqrt{2a}a=2a
Lösungen: a = 0a=0 und a = 2a=2
a = 0a=0 ist nicht möglich, da der Anfangswert 1 ist und die Folge monoton wächst, also ist 2 der Grenzwert
TIPP: bei einer Folge, die als Bruch dargestellt wird, kann im Zähler und Nenner die höchste Potenz von nn "ausgeklammert" werden, um quasi Terme der Form \frac x{n^k} \to 0nkx→0 zu erzwingen
allgemein: für eine Folge a_n = \frac{a_rn^r + ... + a_1n + a_0}{b_sn^s + ... + b_1n + b_0}an=bsns+...+b1n+b0arnr+...+a1n+a0 gilt...
Beschränkte Folgen, Limes superior und Limes inferior
Häufungspunkt: eine Zahl aa heißt Häufungspunkt einer Folge a_nan, wenn es eine Teilfolge a_{n_k}ank gibt, die gegen aa konvergiert (\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = alimk→∞ank=a)
Limes superior: als Limes superior wird der größte Häufungspunkt der Folge bezeichnet
\limsup a_n = \inf\{\sup\{a_k : k \geq n\} : n \in \N\}limsupan=inf{sup{ak:k≥n}:n∈N}
für nach oben unbeschränkte Folgen gilt \limsup_{n \to \infty} a_n = \inftylimsupn→∞an=∞
Limes inferior: als Limes inferior wird der kleinste Häufungspunkt der Folge bezeichnet
\liminf a_n = \sup\{\inf\{a_k : k \geq n\} : n \in \N\}liminfan=sup{inf{ak:k≥n}:n∈N}
für nach unten unbeschränkte Folgen gilt \liminf_{n \to \infty} a_n = - \inftyliminfn→∞an=−∞
jede beschränkte Folge (mit unendlich vielen Gliedern) enthält (mindestens) eine konvergente Teilfolge
jede beschränkte Folge (mit unendlich vielen Gliedern) hat (mindestens) einen Häufungspunkt
jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat (mindestens) einen Häufungspunkt
Cauchy-Kriterium (entscheide, ob eine Folge konvergiert oder divergiert): eine Folge a_nan reeler oder komplexer Zahlen konvergiert gegen einen Grenzwert, wenn es zu jedem \epsilon > 0ϵ>0 einen Index NN gibt, sodass der Abstand zweier beliebiger Folgeglieder ab diesem Index |a_m - a_n|∣am−an∣ kleiner als \epsilonϵ ist
Sandwichkriterium: wenn eine Folge zwischen zwei konvergierenden Folgen mit demselben Grenzwert liegt, dann muss sie auch gegen diesen Grenzwert konvergieren
formal: seien x_n, y_nxn,yn zwei reele Folgen mit x_n \to a, y_n \to a, x_n \leq y_nxn→a,yn→a,xn≤yn
ist w_nwn eine weitere Folge mit x_n \leq w_n \leq y_nxn≤wn≤yn, so gilt w_n \to awn→a
Konvergenz: konvergiert die Reihe s_n = \sum_{k=0}^\infty a_ksn=∑k=0∞ak, so nennt man ihren Grenzwert s = \lim_{n \to \infty}s_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^na_ks=limn→∞sn=limn→∞∑k=0nak den Wert / Summe der Reihe
eindeutig, wird als s = \sum_{k = 0}^\infty a_ks=∑k=0∞ak bezeichnet
absolute Konvergenz: eine Reihe ist absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge \sum_{n=0}^\infty|a_n|<\infty∑n=0∞∣an∣<∞ konvergiert
Beispiele:
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}∑n=1∞n2(−1)n−1 ist wegen \sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\right| = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6∑n=1∞n2(−1)n−1=∑n=1∞n21=6π2 absolut konvergent (siehe Basler Problem)
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n∑n=1∞n(−1)n−1 ist zwar konvergent (gegen \ln(2)ln(2)), aber wegen \sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n-1}}n\right| = \sum_{n=1}^\infty\frac1n∑n=1∞n(−1)n−1=∑n=1∞n1nicht absolut konvergent (siehe harmonische Reihe)
geometrische Reihe: eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge (der Quotient qq zweier benachbarter Folgeglieder ist konstant)
\sum_{k=0}^\infty a_k = a, \sum_{k=0}^\infty b_k = b \implies \sum_{k=0}^\infty (a_k+b_k) = a+b∑k=0∞ak=a,∑k=0∞bk=b⟹∑k=0∞(ak+bk)=a+b
\sum_{k=0}^\infty a_k = a \implies \sum_{k=0}^\infty ca_k = c \sum_{k=0}^\infty a_k = ca∑k=0∞ak=a⟹∑k=0∞cak=c∑k=0∞ak=ca
Cauchy-Kriterium für Reihen: eine Reihe \sum_{k=1}^\infty a_k∑k=1∞ak konvergiert, wenn zu jedem Abstand \epsilon > 0ϵ>0 ein Mindestindex NN existiert, so dass für alle Indizes n \geq m \geq Nn≥m≥N der Betrag von \sum_{k=m}^n a_k∑k=mnak kleiner als \epsilonϵ ist
formal: \forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \N \; \forall n \geq m \geq N: |\sum_{k=m}^na_k| < \epsilon∀ϵ>0∃N∈N∀n≥m≥N:∣∑k=mnak∣<ϵ
äquivalent: eine konvergente Reihe erfüllt das Cauchy-Kriterium, und umgekehrt besitzt jede reelle Reihe, die das Cauchy-Kriterium erfüllt, einen reellen Grenzwert
Satz: ist s_n = \sum_{k=0}^n a_ksn=∑k=0nak eine reele Reihe mit a_k \geq 0ak≥0 für alle k \in \N_0k∈N0, so ist (s_n)(sn) konvergent genau dann, wenn (s_n)(sn) beschränkt ist
Vergleichskriterien für Konvergenz
Nullfolgenkriterium: bildet die Folge der Summanden einer Reihe keine Nullfolge, dann divergiert die Reihe
Majorante: ist \sum_{k=0}^na_k∑k=0nak eine Reihe mit Werten in \mathbb{C}C, so heißt eine Reihe \sum_{k=0}^nb_k∑k=0nbk mit b_k \in \Rbk∈R und |a_k| \leq b_k∣ak∣≤bkMajorante von \sum_{k=0}^na_k∑k=0nak
jeder Wert von b_kbk ist größer oder gleich jedem Wert von a_kak im selben Index kk
Beispiel: \sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n}∑n=0∞2n1 ist Majorante von \sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n+1}∑n=0∞2n+11
Minorante: ist \sum_{k=0}^na_k∑k=0nak eine Reihe mit Werten in \mathbb{C}C, so heißt eine Reihe \sum_{k=0}^nb_k∑k=0nbk mit b_k \in \Rbk∈R und |a_k| \geq b_k∣ak∣≥bkMinorante von \sum_{k=0}^na_k∑k=0nak
jeder Wert von b_kbk ist kleiner oder gleich jedem Wert von a_kak im selben Index kk
Beispiel: \sum_{n=1}^\infty\frac1n∑n=1∞n1 ist Minorante von \sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt n}∑n=1∞n1
Majorantenkriterium: eine unendliche Reihe \sum_{n=0}^\infty a_n∑n=0∞an, die eine konvergente Majorante mit nichtnegativen Summanden \sum_{n=0}^\infty b_n∑n=0∞bn besitzt, ist absolut konvergent
formal: sei \sum_{n=0}^\infty b_n∑n=0∞bn mit b_n \geq 0 \; \forall n \in \Nbn≥0∀n∈Nkonvergent, dann \forall n \geq n_0: |a_n| \leq b_n \implies \sum_{n=0}^\infty a_n∀n≥n0:∣an∣≤bn⟹∑n=0∞ankonvergiert absolut
Beispiel: prüfe, ob \sum_{n=1}^\infty\frac1{(n^2+5)^2}∑n=1∞(n2+5)21 konvergiert
\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}∑n=1∞n21 konvergiert, also konvergiert \sum_{n=1}^\infty\frac1{(n^2+5)^2}∑n=1∞(n2+5)21 absolut
Minorantenkriterium: eine unendliche Reihe \sum_{n=0}^\infty a_n∑n=0∞an, die eine divergente Minorante mit nichtnegativen Summanden \sum_{n=0}^\infty b_n∑n=0∞bn besitzt, ist divergent
formal: sei \sum_{n=0}^\infty b_n∑n=0∞bn mit b_n \geq 0 \; \forall n \in \Nbn≥0∀n∈Ndivergent, dann \forall n \geq n_0: a_n \geq b_n \implies \sum_{n=0}^\infty a_n∀n≥n0:an≥bn⟹∑n=0∞andivergent
Beispiel: prüfe, ob \sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n(n+1)}}∑n=1∞n(n+1)1 divergiert
\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}∑n=1∞2n1 divergiert, also divergiert \sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n(n+1)}}∑n=1∞n(n+1)1
Quotientenkriterium: die Abschätzung einer Reihe (als geometrische Reihe) ist genau dann konvergent, wenn der Betrag der Folgeglieder abnimmt, also der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder qq kleiner als 1 ist, sonst ist sie divergent
formal: sei \sum_{n=0}^\infty a_n∑n=0∞an eine reele oder komplexe Reihe mit a_n \neq 0an=0 für n \to \inftyn→∞
gibt es ein q < 1q<1 und n_0 \geq 0n0≥0, so dass \forall k \geq n_0: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q < 1∀k≥n0:anan+1≤q<1, ist die Reihe absolut konvergent
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{n+1}2 \geq 1 \impliesanan+1=2n+1(n+1)!⋅n!2n=2n+1≥1⟹ die Reihe ist divergent
alternativ: für S = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|S=limn→∞anan+1 gilt...
S < 1 \impliesS<1⟹ die Reihe konvergiert absolut
S > 1 \impliesS>1⟹ die Reihe divergiert
S = 1 \impliesS=1⟹ unbestimmt
Monotoniekriterium: eine Reihe mit nichtnegativen reellen Summanden konvergiert genau dann, wenn ihre Partialsummen nach oben beschränkt sind
formal: \exists N \in \N \; \forall i \geq N : a_i \geq 0, \exists K \in \R : \sum_{i=1}^na_i \leq K \implies \sum_{i=1}^\infty a_i = \lim_{n \to \infty} s_n \leq K∃N∈N∀i≥N:ai≥0,∃K∈R:∑i=1nai≤K⟹∑i=1∞ai=limn→∞sn≤K (analog fallend)
Leibniz-Kriterium: ist (a_n)(an) eine monoton fallende, reele Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe \sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n∑n=0∞(−1)nan
Abschätzung des Restglieds der Summe nach NN Summanden: \left|\sum_{n=N+1}^\infty(-1)^na_n\right| \leq a_{N+1}∑n=N+1∞(−1)nan≤aN+1
Beispiel (Leibniz-Reihe, unrelated): \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1} = 1-\frac13+\frac15-\frac17... = \arctan1=\frac\pi4∑n=0∞2n+1(−1)n=1−31+51−71...=arctan1=4π
Beweis:
sei (s_0, s_2, s_4, ...) = (s_{2k})_{k\in\N_0}(s0,s2,s4,...)=(s2k)k∈N0 die Folge der Partialsummen von s=\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_ns=∑n=0∞(−1)nan
Schritt 1: (s_{2k})(s2k) ist monton fallend
(a_k)_{k\in\N_0}(ak)k∈N0 ist monoton fallend \implies s_{2k+2} = s_{2k}-a_{2k+1}+a_{2k+2} \leq s_{2k}⟹s2k+2=s2k−a2k+1+a2k+2≤s2k
Schritt 2: (s_{2k})(s2k) ist nach unten beschränkt
Umordnungssatz (?): eine Reihe \sum_{k=1}^na_k∑k=1nak konvergiert genau dann absolut, wenn für jede Permutation \sigmaσ von \NN die umgeordnete Reihe gegen denselben Wert konvergiert
kurz: wenn eine Reihe konvergiert, aber die absolute Variante divergiert, ist sie nicht absolut konvergent, z.B. \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}∑n=1∞n(−1)n+1
Cauchy-Produkt: sind \sum_{n=0}^\infty a_n∑n=0∞an und \sum_{n=0}^\infty b_n∑n=0∞bn zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe \sum_{n=0}^\infty c_n∑n=0∞cn mit c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} = \sum_{i+j=n}a_ib_jcn=∑k=0nakbn−k=∑i+j=naibj ebenfalls absolut konvergent
Funktionen, Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
isolierter Punkt: ein Element aa einer Menge XX heißt isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung U_e(a), \epsilon > 0Ue(a),ϵ>0 von aa gibt, die keine weiteren Elemente aus XX außer aa enthält
äquivalent: aa ist isoliert \iff⟺aa ist kein Häufungspunkt von XX (\nexists a_n : \lim_{n\to\infty}a_n = a∄an:limn→∞an=a)
Beispiele:
M := \{0\} \cup [1,2] \RightarrowM:={0}∪[1,2]⇒ 0 ist ein isolierter Punkt
M := \{0\} \cup \{1, \frac12, \frac13, ...\} \RightarrowM:={0}∪{1,21,31,...}⇒ 0 ist kein isolierter Punkt, dafür aber \frac 1 n \; \forall n \in \Nn1∀n∈N
\N \RightarrowN⇒ alle Elemente sind isolierte Punkte
Grenzwert einer Funktion: der Limes / Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle pp ist der Wert LL, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert, falls dieser existiert
(!)pp muss nicht im Definitionsbereich DD von ff enthalten sein, muss aber ein Häufungspunkt von DD sein (oder \pm \infty±∞)
\lim_{x \to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to p}f(x)}{\lim_{x \to p}g(x)} = \frac a blimx→pg(x)f(x)=limx→pg(x)limx→pf(x)=ba für b \neq 0b=0
stetige Funktionen: eine stetige Funktion ist anschaulich eine zusammenhängende Funktion, die gezeichnet werden kann, ohne den Stift zu heben
formal: eine Funktion f : D \to \Rf:D→R heißt stetig in x_0 \in Dx0∈D, falls \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)limx→x0f(x)=f(x0)
Folgenkriterium: f : D \to \Rf:D→R stetig in x_0 \iff \forall(a_n)_{n \in \N}, \lim_{n \to \infty} a_n = x_0 : \lim_{n \to \infty}f(a_n) = f(x_0)x0⟺∀(an)n∈N,limn→∞an=x0:limn→∞f(an)=f(x0)
äquivalent (Epsilon-Delta-Kriterium): eine Funktion f : D \to \Rf:D→R heißt stetig in x_0 \in Dx0∈D, falls zu jedem \epsilon > 0ϵ>0 ein \delta > 0δ>0 existiert, so dass für alle x \in Dx∈D mit |x-x_0| < \delta∣x−x0∣<δ gilt |f(x) - f(x_0)|<\epsilon∣f(x)−f(x0)∣<ϵ
Beispiel: f(x) = \begin{cases}x &\text{falls }x \leq 1\\ x+1 &\text{falls }x > 1\end{cases}f(x)={xx+1falls x≤1falls x>1 ist im Punkt x_0 = 1x0=1nicht stetig
ff heißt stetig in DD. falls ff stetig ist in xx für allex \in Dx∈D
(!) ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig
Satz: sind f,gf,g Funktionen mit Definitionsbereich DD und stetig in x \in Dx∈D, sind auch f + g, f - g, f \cdot g, \lambda f + \mu gf+g,f−g,f⋅g,λf+μg und \frac f ggf (falls g(x) \neq 0g(x)=0) stetig in xx
Satz: sind f,gf,g stetige Funktionen in x_0x0 mit f(D_f) \subseteq D_gf(Df)⊆Dg (Definitionsbereich von gg umfasst Wertebereich von ff), dann ist die Komposition g \circ fg∘f (g(f(x))g(f(x))) auch stetig in x_0x0
(!) alle rationale Funktionen, Exponentialfunktionen x \to a^xx→ax (für a \in \R_{>0}a∈R>0), trigonometrische Funktionen (\sin, \cos, \tan...sin,cos,tan...) und Logarithmusfunktionen sind in ihren Definitionsbereichen stetig
formal: f:D \to \Rf:D→R hat für x \to p+x→p+ den Limes LL, wenn es zu jedem \epsilon > 0ϵ>0 ein \delta > 0δ>0 gibt, so dass für alle xx-Werte aus DD, die der Bedingung 0 < x-p < \delta0<x−p<δ genügen, auch |f(x)-L| < \epsilon∣f(x)−L∣<ϵ gilt (analog x \to p-x→p−)
Beispiel: für \frac 1 xx1 gilt \lim_{x\to 0+}\frac 1 x = \inftylimx→0+x1=∞ und \lim_{x\to 0-}\frac 1 x = -\inftylimx→0−x1=−∞
ein (beidseitiger) Grenzwert existiert dann, wenn man "von beiden Seiten an x_0x0 angewandert" zum selben Wert kommt
links- und rechtsseitige Stetigkeit: die links- / rechtsseitige Stetigkeit ist die Eigenschaft, dass eine Funktion nur von einer Seite aus gesehen stetig ist
grob gesagt ist eine Funktion linksstetig, wenn bei Annäherung an den Grenzpunkt von links kein Sprung auftritt (analog rechts)
formal: eine Funktion ff heißt linksseitig stetig in x_0 \in D_fx0∈Df, falls für den linksseitigen Grenzwert die Gleichung \lim_{x \to x_0-}f(x) = f(x_0)limx→x0−f(x)=f(x0) gilt (analog rechtsseitig)
Beispiel: f(x) = \begin{cases}0 &\text{falls }x < 0\\1 &\text{falls }x \geq 0\end{cases}f(x)={01falls x<0falls x≥0 ist in 0 rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig
wenn eine Funktion sowohl links-, als auch rechtsseitig stetig ist, so ist sie allg. stetig in x_0x0
Fixpunktiteration: Fixpunktiteration ist ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Lösungen einer Gleichung / eines Gleichungssystems der Form \varphi(x) = xφ(x)=x mit einer Funktion \varphiφ und einer Startnäherung x_1 = \varphi(x_0)x1=φ(x0), was dann weiter gelöst wird (x_2 = \varphi(x_1)x2=φ(x1) etc.)
Beispiel: 2-x^2 = e^x2−x2=ex in M = [0.2;0.7]M=[0.2;0.7]
erhalte Fixpunktgleichung durch Logarithmieren: \ln(2-x^2) = xln(2−x2)=x
Zwischenwertsatz: sei ff eine auf [a,b][a,b] definierte stetige Funktion mit f(a) < s < f(b)f(a)<s<f(b) oder f(b) < s < f(a)f(b)<s<f(a), dann gibt es mindestens ein xx mit f(x)=sf(x)=s (Sonderfall: Nullstellensatz für s = 0s=0 und verschiedene Voreichen für f(a)f(a) und f(b)f(b))
Satz vom Minimum und Maximum: jede auf einem reelen Intervall [a,b][a,b] definierte, reellwertige und stetige Funktion ist beschränkt und nimmt im Definitionsbereich ihr Maximum sowie Minimum an
Fixpunktsatz: ist f : [a,b] \to [a,b]f:[a,b]→[a,b] stetig, so existiert ein x_0 \in [a,b]x0∈[a,b] mit f(x_0) = x_0f(x0)=x0
Extrema: f: D \to \Rf:D→R hat an der Stelle x_0 \in Dx0∈D...
ein lokales Minimum, wenn: \exists I = (a,b), x_0 \in I \; \forall x \in I \cap D : f(x_0) \leq f(x)∃I=(a,b),x0∈I∀x∈I∩D:f(x0)≤f(x)
ein globales Minimum, wenn: \forall x \in D : f(x_0) \leq f(x)∀x∈D:f(x0)≤f(x)
ein lokales Maximum, wenn: \exists I = (a,b), x_0 \in I \; \forall x \in I \cap D : f(x_0) \geq f(x)∃I=(a,b),x0∈I∀x∈I∩D:f(x0)≥f(x)
ein globales Maximum, wenn: \forall x \in D : f(x_0) \geq f(x)∀x∈D:f(x0)≥f(x)
Existenz von Extrema: falls f : [a,b] \to \Rf:[a,b]→R stetig ist, nimmt ff ein globales Maximum und ein globales Minimum an
REZEPT: Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen
hinreichendes Kriterium (VZW der ersten Ableitung):
VZW + \to -+→−: lokales Maximum
VZW - \to +−→+: lokales Minimum
untersuche das Verhalten von ff in den Randpunkten
D = [a,b] \impliesD=[a,b]⟹ bestimme f(a), f(b)f(a),f(b)
D = (a,b) \impliesD=(a,b)⟹ bestimme \lim_{x\to a}f(x), \lim_{x \to b}f(x)limx→af(x),limx→bf(x)
D = [a,b) \impliesD=[a,b)⟹ bestimme f(a), \lim_{x \to b}f(x)f(a),limx→bf(x)
D = (a,b] \impliesD=(a,b]⟹ bestimme \lim_{x\to a}f(x), f(b)limx→af(x),f(b)
das größte lokale Maximum ist das globale Maximum, das kleinste lokale Minimum ist das globale Minimum (falls diese existieren!)
Höhere Dimensionen (?)
eine Folge (x_n)(xn) in \R^dRd konvergiert gegen ein x\in R^dx∈Rd, falls \lim_{n\to\infty}||x_n - x|| = 0limn→∞∣∣xn−x∣∣=0
für D \subseteq \R^d, x \in DD⊆Rd,x∈D heißt f : D \to \Rf:D→R in xx stetig, falls für jede Folge (x_n)(xn) in DD mit Grenzwert xx gilt f(x) = \lim_{n\to\infty}f(x_n)f(x)=limn→∞f(xn)
äquivalent: ff heißt stetig, falls ff in xx für jedes x \in Dx∈D stetig ist
beschränkte Mengen: eine Menge D \subseteq \R^dD⊆Rd heißt beschränkt, falls es ein K \in \RK∈R existiert, so dass \forall x \in D : ||x|| \leq K∀x∈D:∣∣x∣∣≤K
beschränkte Folgen: eine Folge (x_n) \in \R^d(xn)∈Rd heißt beschränkt, falls \{x_n : n \in \N\}{xn:n∈N} beschränkt ist
für jedes nn schreibt man x_n = (x_{n,1},...,x_{n,d})xn=(xn,1,...,xn,d) für x_{n,k} \in \R, 1 \leq k \leq dxn,k∈R,1≤k≤d
kompakte Mengen: eine Teilmenge von \RR ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist (z.B. [a,b], a < b \in \R[a,b],a<b∈R)
äquivalent: sie enthält keine Folge, die zwar konvergiert, deren Grenzwert jedoch nicht zur Menge gehört
Satz: sei DD kompakt und f : D \to \Rf:D→R stetig, dann hat ff ein Maximum und ein Minimum
Satz: eine Folge (x_n) \in \R^d(xn)∈Rd konvergiert genau dann gegen x \in \R^dx∈Rd, falls für 1 \leq k \leq d1≤k≤d die Komponentenfolgen (x_{n,k})_{n=1,2,...}(xn,k)n=1,2,... gegen x_kxk gehen
Folgerung zum Satz von Bolzano-Weierstraß: jede beschränkte Folge in \R^dRd hat eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungspunkt
Lemma: stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt (f(D) = \{f(x) : x \in D\}f(D)={f(x):x∈D})
Umkehrfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktion
Umkehrfunktion: die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist
formal: sei f : A \to Bf:A→B bijektiv (d.h. \forall y \in B \; \exists! x \in A : f(x) = y∀y∈B∃!x∈A:f(x)=y), so ordnet f^{-1} : B \to Af−1:B→A jedem Element von BB ihr eindeutig definiertes Urbildelement unter ff zu (f^{-1}(y) = xf−1(y)=x)
Bemerkung: man erhält den Graphen von f^{-1}f−1, indem man den Graphen von ff an der Geraden y = xy=x spiegelt
(!) Umkehrfunktion von \expexp: \ln : (0, \infty) \to \Rln:(0,∞)→R
(!) Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen: Arkusfunktionen
Stetigkeit der Umkehrfunktion: sei II ein Intervall und sei f : I \to \Rf:I→R streng monoton steigend; dann ist f^{-1}f−1 streng monoton steigend und stetig (analog für streng monoton fallende Funktionen)
REZEPT: Bestimmen der Umkehrfunktion:
löse f(x) = yf(x)=y nach xx auf, so dass x = g(y)x=g(y)
setze y = xy=x und g = f^{-1}g=f−1
Eigenschaften der Exponentialfunktion:
\forall z \in \mathbb{C}: \exp(-z) = \frac1{\exp(z)}∀z∈C:exp(−z)=exp(z)1
\forall z \in \mathbb{C}: \exp(z) \neq 0∀z∈C:exp(z)=0
Koordinatensystem zu Polardarstellung: r = \sqrt{x^2+y^2}, \varphi=\arccos(\frac xr)r=x2+y2,φ=arccos(rx) für y \geq 0y≥0 oder \varphi=-\arccos(\frac xr)φ=−arccos(rx) für y < 0y<0
Polardarstellung zu Koordinatensystem: x = r\cos\varphi, y=r\sin\varphix=rcosφ,y=rsinφ
f = O(g)f=O(g): ff wächst höchstens genauso schnell wie gg
f = O(g), x \to a < \infty \iff \exists C > 0 \; \exists \epsilon > 0 \; \forall x \in \{x : d(x,a) < \epsilon\} : |f(x)| \leq C \cdot |g(x)|f=O(g),x→a<∞⟺∃C>0∃ϵ>0∀x∈{x:d(x,a)<ϵ}:∣f(x)∣≤C⋅∣g(x)∣
äquivalent: f = O(g) \iff \limsup_{x \to a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < \inftyf=O(g)⟺limsupx→ag(x)f(x)<∞
f = o(g)f=o(g): ff wächst langsamer als gg
f = o(g), x \to a < \infty \iff \forall C > 0 \; \exists \epsilon > 0 \; \forall x \in \{x : d(x,a) < \epsilon\} : |f(x)| < C \cdot |g(x)|f=o(g),x→a<∞⟺∀C>0∃ϵ>0∀x∈{x:d(x,a)<ϵ}:∣f(x)∣<C⋅∣g(x)∣
äquivalent: f = o(g) \iff \lim_{x \to a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| = 0f=o(g)⟺limx→ag(x)f(x)=0
innerer Punkt: jedes Element einer Teilmenge M \subseteq \RM⊆R, zu dem sich eine Umgebung in \RR finden lässt, die vollständig in MM liegt, ist ein innerer Punkt von MM
formal: x_0 \in Mx0∈M ist ein innerer Punkt von MM, falls \exists \epsilon > 0 : (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon) \subseteq M∃ϵ>0:(x0−ϵ,x0+ϵ)⊆M
M \subseteq \RM⊆R ist offen, falls alle Punkte in MM innere Punkte sind
Ableitung einer Funktion
Ableitung: die Ableitung von f : D \to \Rf:D→R im Punkt x_0 \in Dx0∈D ist eine Linearisierung der Funktion ff in einer Umgebung von x_0x0
Differenzierbarkeit: eine Funktion f : D \to \Rf:D→R heißt differenzierbar in x_0 \in Dx0∈D, falls der Grenzwert \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}limx→x0x−x0f(x)−f(x0)=limh→0hf(x0+h)−f(x0) mit h=x-x_0h=x−x0 existiert
f: D \to \Rf:D→R heißt differenzierbar in DD, falls für jedes x \in Dx∈D die Funktion ff differenzierbar in xx ist
Tangente, Steigung der Tangente: die Ableitung von ff in x_0x0 entspricht der Steigung der Tangente von ff in x_0x0
Tangentengleichung: y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)y=f(x0)+f′(x0)⋅(x−x0)
Steigung der Tangente von ff in x_0x0: \tan \alpha = f'(x_0)tanα=f′(x0)
Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit: ist f : D \to \Rf:D→R differenzierbar in x_0 \in Dx0∈D, dann ist ff stetig in x_0x0 (aber nicht umgekehrt, siehe bsp. f(x) = |x|f(x)=∣x∣ in x_0 = 0x0=0)
linksseitige / rechtsseitige Ableitung: die linksseitige / rechtsseitige Ableitung ist die Steigung der Tangente an einem Punkt x_0x0 "von links / rechts an betrachtet"
linksseitig: f'_-(x_0) = \lim_{h\to 0, h < 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}f−′(x0)=limh→0,h<0hf(x0+h)−f(x0), falls dieser existiert
rechtsseitig: f'_+(x_0) = \lim_{h\to 0, h > 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}f+′(x0)=limh→0,h>0hf(x0+h)−f(x0), falls dieser existiert
Funktionenfolge: eine Funktionenfolge ist eine Folge, deren einzelne Glieder Funktionen sind
punktweise Konvergenz: eine Funktionsfolge (f_n)_{n \in \N}(fn)n∈N konvergiert punktweise gegen eine Funktion ff, wenn für alle Stellen xx aus dem gemeinsamen Definitionsbereich die Folge (f_n(x))_{n\in\N}(fn(x))n∈N gegen f(x)f(x) konvergiert
formal: \forall \epsilon > 0 \; \forall x \in D \; \exists N \in \N \; \forall n \geq N: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon∀ϵ>0∀x∈D∃N∈N∀n≥N:∣fn(x)−f(x)∣<ϵ
(!) gleichmäßige Konvergenz gegen ff impliziert punktweise Konvergenz gegen ff
falls f_nfn noch für alle nn auf \RR integrierbar ist, ist ff integrierbar und \lim_{n \to \infty}\int_a^bf_n(x)dx = \int_a^bf(x)dxlimn→∞∫abfn(x)dx=∫abf(x)dx
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}∑n=1∞n21 konvergiert, d.h. \sum_{n=0}^\infty f_n(x)∑n=0∞fn(x) konvergiert absolut und gleichmäßig
Satz für punktweise konvergente Funktionsreihen: konvergiert die aus einer Funktionenfolge gebildete Reihe f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n(x)f(x)=∑n=0∞fn(x), ist die Reihe punktweise konvergent gegen die Grenzfunktion ff
Satz für Differenzierbarkeit von Funktionsreihen: sind für f_k : D \to \Rfk:D→R die Reihen \sum_{k=0}^\infty f_k(x)∑k=0∞fk(x) punktweise und \sum_{k=0}^\infty f'_k(x)∑k=0∞fk′(x) gleichmäßig konvergent, so ist ff in DD differenzierbar mit f'(x) = \sum_{k=0}^\infty f'_k(x)f′(x)=∑k=0∞fk′(x)
Anwendungen der Ableitung
Satz von Rolle: auf dem Graphen der Funktion ff gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden Funktionswerten mindestens eine Stelle, an der die Steigung gleich null ist
formal: seien a < ba<b und f: [a,b] \to \Rf:[a,b]→R eine stetige Funktion, die in (a,b)(a,b) differenzierbar ist; wenn f(a) = f(b)f(a)=f(b), so gibt es eine Stelle x_0 \in (a,b)x0∈(a,b) mit f'(x_0) = 0f′(x0)=0
Beweis:
Fall 1: ff konstant (trivial)
ist ff konstant, gilt f'(x) = 0f′(x)=0 für allex \in (a,b)x∈(a,b)
Fall 2: ff nicht konstant
laut Satz von Maximum und Minimum nimmt ff in [a,b][a,b] sowohl Maximum, als auch Minimum an
das Maximum / Minimum muss von f(a)=f(b)f(a)=f(b)verschieden sein, sonst wäre ff konstant \Rightarrow⇒ es existiert mind. ein Extremum an einer beliebigen Stelle x_0 \in (a,b)x0∈(a,b) (1)
ff ist auf (a,b)(a,b)differenzierbar\implies f⟹f ist in x_0x0differenzierbar
notwendiges Kriterium für Extrema\implies f'(x_0) = 0⟹f′(x0)=0 (2)
(1), (2) \implies \exists x_0 \in (a,b) : f'(x_0)=0⟹∃x0∈(a,b):f′(x0)=0, QED
Mittelwertsatz: die Sekantensteigung tretet an mindestens einer Stelle zwischen aa und bb als Steigung der Tangente am Funktionsgraph auf
formal: seien a<ba<b und f:[a,b]\to\Rf:[a,b]→R eine stetige Funktion, die in (a,b)(a,b) differenzierbar ist, dann existiert mindestens ein x_0 \in (a,b)x0∈(a,b), so dass f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}f′(x0)=b−af(b)−f(a)
Beweis:
Idee: suche geeignete Hilfsfunktion
sei H : [a,b] \to \RH:[a,b]→R eine Hilfsfunktion, definiert als H(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)H(x)=f(x)−b−af(b)−f(a)(x−a)
ff ist auf [a,b][a,b] stetig und auf (a,b)(a,b) differenzierbar (1)
HH ist eine Komposition aus ff und \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)b−af(b)−f(a)(x−a) (2)
(1), (2) \implies H⟹H ist auf [a,b][a,b] stetig und auf (a,b)(a,b) differenzierbar
Monotoniekriterium: für eine in (a,b)(a,b) differenzierbare Funktion f:[a,b] \to \Rf:[a,b]→R (stetig) gilt...
f' \geq 0f′≥0 auf (a,b) \iff f(a,b)⟺fmonoton steigend auf [a,b][a,b]
f' \leq 0f′≤0 auf (a,b) \iff f(a,b)⟺fmonoton fallend auf [a,b][a,b]
f' > 0f′>0 auf (a,b) \implies f(a,b)⟹fstreng monoton steigend auf [a,b][a,b]
f' < 0f′<0 auf (a,b) \implies f(a,b)⟹fstreng monoton fallend auf [a,b][a,b]
Grenzwertbestimmung mit L'Hôpital
Regel von de L'Hospital: existiert \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}limx→x0g′(x)f′(x), so ist \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}limx→x0g(x)f(x)=limx→x0g′(x)f′(x)
TIPP: man kann Funktionen der Form h(x) = f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x) evtl. auf h(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}h(x)=g(x)1f(x) umformen, um L'Hôpital anzuwenden (siehe Bsp. 3)
Beispiel 1: \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)-1}{\tan(x)}limx→0tan(x)cos(x)−1
setze f(x) = \cos(x)-1f(x)=cos(x)−1 und g(x)=\tan(x)g(x)=tan(x)
konvex: eine reelwertige Funktion heißt konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt
formal: eine Funktion f:C \to Rf:C→R, wobei C \subseteq \R^nC⊆Rn eine konvexe Teilmenge von \R^nRn ist, heißt konvex, wenn für alle x,y \in Cx,y∈C und für alle \lambda \in [0,1]λ∈[0,1] gilt: f(\lambda x +(1- \lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1- \lambda)f(y)f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)
ff ist konvex, falls -f−fkonkav ist
Satz: ist f:(a,b) \in \Rf:(a,b)∈R zweimal differenzierbar mit nicht-negativer zweiter Ableitung, so ist ff konvex
Beispiele: \exp(x), x^4...exp(x),x4...
konkav: eine reelwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt
formal: eine Funktion f:C \to Rf:C→R, wobei C \subseteq \R^nC⊆Rn eine konkave Teilmenge von \R^nRn ist, heißt konkav, wenn für alle x,y \in Cx,y∈C und für alle \lambda \in [0,1]λ∈[0,1] gilt: f(\lambda x +(1- \lambda)y) \geq \lambda f(x) + (1- \lambda)f(y)f(λx+(1−λ)y)≥λf(x)+(1−λ)f(y)
ff ist konkav, falls -f−fkonvex ist
Beispiele: \ln(x), -x^2...ln(x),−x2...
ist die jeweilige Ungleichung strikt, so heißt ffstreng konvex bzw. streng konkav
Kriterium für Konvexität bzw. Konkavität: ist f:[a,b] \to \Rf:[a,b]→R zweimal stetig differenzierbar, gilt...
ff konvex auf [a,b] \iff f''(x) \geq 0 \; \forall x \in [a,b][a,b]⟺f′′(x)≥0∀x∈[a,b]
ff konkav auf [a,b] \iff f''(x) \leq 0 \; \forall x \in [a,b][a,b]⟺f′′(x)≤0∀x∈[a,b]
strikt konvex bzw. strikt konkav, wenn die Ungleichungen strikt sind
Jensensche Ungleichung: für eine konvexe Funktion ff und nichtnegative \lambda_iλi mit \sum_{i=1}^n\lambda_i = 1∑i=1nλi=1 gilt f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right) \leq \sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i)f(∑i=1nλixi)≤∑i=1nλif(xi)
für konkave Funktionen geht die Ungleichung in die umgekehrte Richtung
Integralrechnung: die Integralrechnung bestimmt anschaulich Flächeninhalte, die durch gekrümmte Linien (e.g. Funktionen oberhalb der xx-Achse) in einem Intervall [a,b][a,b] begrenzt sind
Integral einer konstanten Funktion: \int_a^bf(x)dx=(b-a)\cdot c∫abf(x)dx=(b−a)⋅c (Flächeninhalt des Rechtecks unter / über dem Graphen)
c > 0c>0: Ergebnis positiv
c < 0c<0: Ergebnis negativ
Treppenfunktionen: eine Treppenfunktion nimmt nur endlich viele Funktionswerte an und ist stückweise konstant, f(x) = c_if(x)=ci falls x \in (x_{i-1},x_i)x∈(xi−1,xi)
formal: f : [a,b] \to \Rf:[a,b]→R heißt Treppenfunktion, wenn \exists t_0, t_1,...,t_n : a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b∃t0,t1,...,tn:a=t0<t1<...<tn=b und \exists c_1, ..., c_n \; \forall x \in (t_{i-1},t_i), i = 1,...,n:f(x)=c_i∃c1,...,cn∀x∈(ti−1,ti),i=1,...,n:f(x)=ci (Funktionswerte an den Stützstellen sind beliebig, aber reell)
Integral einer Treppenfunktion: \int_a^b f(x)dx = \sum_{i=1}^nc_i(x_i-x_{i-1})∫abf(x)dx=∑i=1nci(xi−xi−1) mit c_i \in (x_{i-1}, x_i)ci∈(xi−1,xi)
(!) es gilt stets U_Z(f) \leq O_Z(f)UZ(f)≤OZ(f), man betrachtet den Fehler als O_Z(f) - U_Z(f)OZ(f)−UZ(f)
je feiner die Zerlegung, desto genauer wird das Ergebnis (U_Z(f) \leq U_{Z'}(f) \leq O_{Z'}(f) \leq O_Z(f)UZ(f)≤UZ′(f)≤OZ′(f)≤OZ(f))
Darboux-Integral (Unter- / Oberintegral): das Darboux-Integral von ff entspricht einer "unendlich feinen" Zerlegung (Infimum der Obersummen / Supremum der Untersummen)
Unterintegral: U(f) = \sup\{U_Z(f): \text{Z ist Zerlegung von [a,b]}\}U(f)=sup{UZ(f):Z ist Zerlegung von [a,b]} (Untersumme wächst)
Oberintegral: O(f) = \inf\{O_Z(f): \text{Z ist Zerlegung von [a,b]}\}O(f)=inf{OZ(f):Z ist Zerlegung von [a,b]} (Obersumme senkt)
(!) es gilt stets U(f) \leq O(f)U(f)≤O(f)
(!)ff heißt integrierbar, falls U(f) = O(f)U(f)=O(f) mit \int_a^bf(x)dx=U(f)=O(f)∫abf(x)dx=U(f)=O(f)
ist ff integrierbar und (Z^n)(Zn) eine Folge von Zerlegungen, dessen Fehler beim genaueren Approximieren gegen 0 strebt, gilt \int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty}U_{Z^n}(f) = \lim_{n \to \infty}O_{Z^n}(f)∫abf(x)dx=limn→∞UZn(f)=limn→∞OZn(f)
Riemannsches Kriterium: eine beschränkte Funktion ff ist genau dann integrierbar, wenn es für jedes \epsilon > 0ϵ>0 eine ZerlegungZZ von [a,b][a,b] mit O_Z(f) - U_Z(f) < \epsilonOZ(f)−UZ(f)<ϵ gibt
gleichmäßige Stetigkeit: für eine gleichmäßig stetige Funktion ff muss gelten, dass der Abstand beliebiger Paare von Funktionswerten kleiner als ein beliebig vorgegebener Maximalfehler \epsilonϵ ist, solange die Argumente hinreichend nah beieinanderliegen (\deltaδ).
anschaulich: sei ein Rechteck mit Höhe 2\epsilon2ϵ und Breite 2\delta2δ um einen Punkt; der Graph muss komplett im Inneren, aber nie direkt ober- oder unterhalb des Rechtecks verlaufen
Zerlegbarkeit (1): a < c < b \implies \int_a^bf(x)dx = \int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dxa<c<b⟹∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
Zerlegbarkeit (2): a \leq b \implies \int_b^af(x)dx = -\int_a^bf(x)dxa≤b⟹∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
damit gilt die Zerlegbarkeit \int_a^cf(x)dx = \int_a^bf(x)dx + \int_b^cf(x)dx∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx für allea,b,c\in\Ra,b,c∈R
Integral im selben Punkt: \int_a^af(x)dx = 0∫aaf(x)dx=0
Mittelwertsatz der Integralrechnung: bei einer stetigen Funktion f : [a,b] \to \Rf:[a,b]→R liegt der Durchschnittswert im Bereich der Werte, welche die Funktion annimmt
genauer: es gibt ein \xiξ, so dass f(\xi)f(ξ) gleich dem durchschnittlichen Funktionswert von ff ist
formal: falls f:[a,b]\to\Rf:[a,b]→R eine stetige Funktion ist, gibt es ein \xi \in [a,b]ξ∈[a,b], so dass f(\xi)(b-a) = \int_a^bf(x)dxf(ξ)(b−a)=∫abf(x)dx
erster Teil (Existenz von Stammfunktionen, Zusammenhang von Ableitung und Integral): ist f: I \to \Rf:I→R eine reelwertige stetige Funktion auf einem reellen Intervall II, so ist für jedes c \in Ic∈I (ccbeliebig) die Integralfunktion F : I \to \R, F(x) = \int_c^xf(t)dtF:I→R,F(x)=∫cxf(t)dtdifferenzierbar und eine Stammfunktion (bis auf eine additive Konstante eindeutig) von ff, d.h. für alle x\in Ix∈I gilt F'(x) = f(x)F′(x)=f(x)
Beweis:
zu zeigen: \exists F'(x) \equiv \exists \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}h∃F′(x)≡∃limh→0hF(x+h)−F(x) und F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}h = f(x)F′(x)=limh→0hF(x+h)−F(x)=f(x)
sei x \in Ix∈I beliebig, aber fest, und h > 0h>0 (klein genug), so dass x + h \in Ix+h∈I, dann...
zweiter Teil (Berechnung eines Integrals): ist f: [a,b] \to \Rf:[a,b]→R eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b][a,b] mit Stammfunktion F:[a,b] \to \RF:[a,b]→R, dann gilt \int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
laut Kettenregel gilt (F\circ g)'(x) = [F(g(x))]' = F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x)) \cdot g'(x)(F∘g)′(x)=[F(g(x))]′=F′(g(x))⋅g′(x)=f(g(x))⋅g′(x)
folglich ist F \circ gF∘g eine Stammfunktion von (f\circ g)\cdot g'(f∘g)⋅g′
laut Fundamentalsatz der Analysis gilt \int_a^bf(g(x))\cdot g'(x)dx = (F\circ g)(b) - (F\circ g)(a) = F(g(b)) - F(g(a)) = \int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt∫abf(g(x))⋅g′(x)dx=(F∘g)(b)−(F∘g)(a)=F(g(b))−F(g(a))=∫g(a)g(b)f(t)dt, QED
TIPP: wenn die Ableitung nicht offensichtlich da ist, forme Integral um und nutze Linearität (siehe Bsp. 2)
REZEPT - \frac{dt}{dx}dxdt-Variante:
setze t't′ mit \frac{dt}{dx}dxdt gleich
löse für dxdx, dann substituiere im Integral
Beispiel 1: \int_4^9(x^2-4)^3\cdot 2x dx∫49(x2−4)3⋅2xdx
uneigentliche Integrale: uneigentliche Integrale sind Integrale, die einen endlichen Wert haben, bei denen aber entweder eine Integrationsgrenze im Unendlichen liegt oder die Funktion an der Integrationsgrenze eine Singularität hat
erster Fall: ist f:[a, \infty)f:[a,∞) eine Funktion, die auf jedem endlichen Intervall [a,M][a,M] integrierbar ist, definiert man...
\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{M \to \infty}\int_a^Mf(x)dx∫a∞f(x)dx=limM→∞∫aMf(x)dx (falls der Limes existiert)
\int_{-\infty}^a f(x)dx = \lim_{M \to \infty}\int_{-M}^af(x)dx∫−∞af(x)dx=limM→∞∫−Maf(x)dx (falls der Limes existiert)
Potenzreihen: unendliche Reihen einer bestimmten Form mit einer beliebigen Folge(a_n)_{n \in \N_0}(an)n∈N0 und einem Entwicklungspunktaa heißen Potenzreihen
Taylorreihe: Darstellung einer unendlich oft differenzierbaren Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe, die der Grenzwert der Taylorpolynome ist
innerer Punkt (mehrdimensional): ein Element x \in Dx∈D heißt innerer Punkt von D \subseteq \R^dD⊆Rd, falls es einen Ball um xx gibt, der vollständig in DD liegt
D \subseteq \R^dD⊆Rd offen, falls alle Punkte in DD innere Punkte sind
Differenzierbarkeit (mehrdimensional): eine Funktion f : D \to \R, \; D \subseteq \R^df:D→R,D⊆Rd heißt in aapartiell nach der ii-ten Komponente differenzierbar, falls der Grenzwert \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,...,a_i + h,...,a_n) - f(a_1,...,a_i,...,a_n)}hlimh→0hf(a1,...,ai+h,...,an)−f(a1,...,ai,...,an) existiert
partielle Ableitung: die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente (während man die anderen als Konstanten betrachtet) heißt partielle Ableitung
Schreibweise: \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)∂xi∂f(a) oder \partial_{x_i}f(a)∂xif(a) (partielle Ableitung von ff nach der ii-ten Komponente x_ixi)
ist ff in aadifferenzierbar, dann ist ff in aa partiell nach allen Komponenten differenzierbar
ist ff überall in DD partiell nach allen Komponenten differenzierbar und sind die partiellen Ableitungen in DDstetig, so ist ff in DDstetig differenzierbar
zweite partielle Ableitung: \frac{\partial^2f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)∂xj∂xi∂2f=∂xj∂(∂xi∂f) (zuerst nach x_ixi, dann x_jxj)
Beispiel: f(x,y) = 3x^2+4xy+y^2f(x,y)=3x2+4xy+y2
\partial_xf(x,y) = 6x+4y∂xf(x,y)=6x+4y bzw. \partial_yf(x,y) = 4x + 2y∂yf(x,y)=4x+2y
\partial_x \partial_x(x,y) = 6∂x∂x(x,y)=6
\partial_y \partial_x(x,y) = 4∂y∂x(x,y)=4
\partial_x \partial_y(x,y) = 4∂x∂y(x,y)=4
\partial_y \partial_y(x,y) = 2∂y∂y(x,y)=2
falls alle zweiten partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, ist ffzweimal stetig differenzierbar
stetig differenzierbar (mehrdimensional): für D \subseteq R^nD⊆Rn offen heißt ffstetig diferenzierbar, falls ff überall in DDdifferenzierbar ist und f'f′ eine stetige Funktion ist
Gradient / Gradientenvektor: der Vektor bestehend aus den partiellen Ableitungen von ff für jeden Parameter heißt Gradientenvektor
Satz von Schwarz: bei mehrfach stetigen differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen ist die Reihenfolge der Variablen der partiellen Ableitungen nicht entscheidend