Mengenlehre (DS)

• grundlegende Informationen hier
• Teilmengendefinition: B \subseteq A \iff \forall x \in B : x \in A$B \subseteq A \iff \forall x \in B : x \in A$ (B$B$ heißt Teilmenge von A$A$, wenn alle x$x$ in B$B$ auch in A$A$ sind)
• Injektion, Surjektion, Bijektion für f : A \to B$f : A \to B$:
  • Injektion: \forall x,y \in A, x \neq y: f(x) \neq f(y)$\forall x,y \in A, x \neq y: f(x) \neq f(y)$ (für jedes y \in B$y \in B$ gibt es höchstens ein Urbild)
    • anders: aus f(x) = f(y)$f(x) = f(y)$ folgt stets x = y$x = y$
  • Surjektion: \forall y \in B \; \exists x \in A : f(x) = y$\forall y \in B \; \exists x \in A : f(x) = y$ (für jedes y \in B$y \in B$ gibt es mindestens ein Urbild)
  • Bijektion: f$f$ ist injektiv und surjektiv (für jedes y \in B$y \in B$ gibt es genau ein Urbild)
• Kardinalitäten:
  • |A| \leq |B| \iff \exists$|A| \leq |B| \iff \exists$ Injektion f : A \to B$f : A \to B$
  • |A| = |B| \iff \exists$|A| = |B| \iff \exists$ Bijektion f : A \to B$f : A \to B$
  • |A| < |B| \iff \exists$|A| < |B| \iff \exists$ Injektion f : A \to B$f : A \to B$ aber keine Injektion g : B \to A$g : B \to A$
• Auswahlaxiom: \exists$\exists$ Surjektion f : A \to B \iff \exists$f : A \to B \iff \exists$ Injektion g : B \to A$g : B \to A$ (eine Surjektion von A$A$ in B$B$ existiert genau dann, wenn eine Injektion von B$B$ in A$A$ existiert)
• Satz von Cantor: sind f : A \to B$f : A \to B$ und g: B \to A$g: B \to A$ injektiv, dann ist h : A \to B$h : A \to B$ bijektiv (|A| = |B|$|A| = |B|$)
• abzählbar unendliche Mengen: eine Menge A$A$ heißt abzählbar unendlich, wenn |A| = |\N| = \aleph_0$|A| = |\N| = \aleph_0$ (alef null)
  • m.a.W: \exists$\exists$ Bijektion zwischen A$A$ und \N$\N$
  • Beispiele: |\N^+| = |\N| = |\Z| = |\Z^2| = |\mathbb{Q}| = \aleph_0$|\N^+| = |\N| = |\Z| = |\Z^2| = |\mathbb{Q}| = \aleph_0$, aber |\R| > \aleph_0$|\R| > \aleph_0$ (siehe Cantors zweites Diagonalargument)
• REZEPT - Zeige, dass eine Menge abzählbar / überabzählbar ist:
  • abzählbar: Elemente explizit auflisten, Bijektion mit \N$\N$ aufstellen, Vereinigung mehrerer abzählbarer Mengen
  • überabzählbar: Diagonalargument, überabzählbare Menge (z.B. [0,1] \subset M$[0,1] \subset M$) in Obermenge M$M$ enthalten

Reele Zahlen und Vektoren (LinAlg)

• grundlegende Informationen hier

(Angeordnete) Körper

• Körper: ein Ring (K, +, \cdot)$(K, +, \cdot)$ mit Einselement 1 heißt Körper, falls folgendes gilt:
  • (K, +)$(K, +)$ abelsche Gruppe (neutrales Element 0)
    • Abgeschlossenheit: K \times K \to K$K \times K \to K$
    • Assoziativität: \forall a,b,c \in K: (a+b)+c = a + (b+c)$\forall a,b,c \in K: (a+b)+c = a + (b+c)$
    • neutrales Element: \exists 0\in K \; \forall a \in K: 0 + x = x = x + 0$\exists 0\in K \; \forall a \in K: 0 + x = x = x + 0$
    • Inverses: \forall a \in K \; \exists b \in K : a + b = 0 = b + a$\forall a \in K \; \exists b \in K : a + b = 0 = b + a$ (eindeutig)
    • Kommutativität: \forall a,b \in K : a + b = b + a$\forall a,b \in K : a + b = b + a$
  • (K \backslash \{0\}, \cdot)$(K \backslash \{0\}, \cdot)$ abelsche Gruppe (neutrales Element 1)
    • Abgeschlossenheit: K \times K \to K$K \times K \to K$
    • Assoziativität: \forall a,b,c \in K: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$\forall a,b,c \in K: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
    • neutrales Element: \exists 1\in K \; \forall a \in K: 1 \cdot x = x = x \cdot 1$\exists 1\in K \; \forall a \in K: 1 \cdot x = x = x \cdot 1$
    • Inverses: \forall a \in K \; \exists b \in K : a \cdot b = 1 = b \cdot a$\forall a \in K \; \exists b \in K : a \cdot b = 1 = b \cdot a$ (eindeutig)
    • Kommutativität: \forall a,b \in K : a \cdot b = b \cdot a$\forall a,b \in K : a \cdot b = b \cdot a$
  • Distributivgesetze, \forall a,b,c \in K$\forall a,b,c \in K$:
    • a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$
    • (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
• angeordnete Körper: ein Körper K$K$, auf dem eine Totalordnung \leq$\leq$ definiert ist, so dass...
  • \forall a \in K: a > 0$\forall a \in K: a > 0$ oder a < 0$a < 0$ oder a = 0$a = 0$ (genau eins darf gelten)
  • \forall a,b \in K: a, b > 0 \implies a + b, a \cdot b > 0$\forall a,b \in K: a, b > 0 \implies a + b, a \cdot b > 0$
  • \forall a,b \in K: a > b \iff a - b > 0$\forall a,b \in K: a > b \iff a - b > 0$
• anders: ein Körper heißt angeordnet, wenn \forall a,b,c \in K$\forall a,b,c \in K$ die Anordnungsaxiome gelten:
  • a \leq b \implies a + c \leq b + c$a \leq b \implies a + c \leq b + c$
  • 0 \leq a \; \land \; 0 \leq b \implies 0 \leq a \cdot b$0 \leq a \; \land \; 0 \leq b \implies 0 \leq a \cdot b$ (alternativ a \leq b \; \land \; 0 \leq c \implies a \cdot c \leq b \cdot c$a \leq b \; \land \; 0 \leq c \implies a \cdot c \leq b \cdot c$)
• Eigenschaften eines angeordneten Körpers (Ungleichungsregeln):
  • das Negative eines positiven Elements ist negativ und das Negative eines negativen Elements ist positiv
    • \forall a \in K, a \neq 0:$\forall a \in K, a \neq 0:$ entweder -a < 0 < a$-a < 0 < a$ oder a < 0 < -a$a < 0 < -a$
  • man darf Ungleichungen addieren: a \leq b, c \leq d \implies a + c \leq b + d$a \leq b, c \leq d \implies a + c \leq b + d$
  • man darf Ungleichungen mit positiven Elementen multiplizieren: a \leq b, 0 \leq c \implies ac \leq bc$a \leq b, 0 \leq c \implies ac \leq bc$
  • Quadratzahlen sind nichtnegativ: 0 \leq a^2$0 \leq a^2$
    • jede Summe von Quadraten ist nichtnegativ
  • jede Summe von Einsen ist positiv: 0 < 1 + 1 + ... + 1$0 < 1 + 1 + ... + 1$
• Beispiele:
  • \N$\N$ ist kein Körper, da für ein beliebiges x$x$ das Inverse -x$-x$ nicht in \N$\N$ enthalten ist
  • \Z$\Z$ ist kein Körper, da für ein beliebiges x$x$ das Inverse \frac{1}{x}$\frac{1}{x}$ nicht in \Z$\Z$ enthalten ist
  • \R$\R$ und jeder Teilkörper von \R$\R$ sind angeordnete Körper
  • \mathbb{C}$\mathbb{C}$ ist kein angeordneter Körper, da i^2 = -1$i^2 = -1$, -1 < 0$-1 < 0$ und 0 \leq a^2 \; \forall a$0 \leq a^2 \; \forall a$, aber 0 \leq i^2 \equiv 0 \leq -1$0 \leq i^2 \equiv 0 \leq -1$ zu einem Widerspruch führt
• Intervalle:
  • geschlossen: [a, b] = \{x \in \R: a \leq x \leq b\}$[a, b] = \{x \in \R: a \leq x \leq b\}$
  • offen: (a, b) = \{x \in \R: a < x < b\}$(a, b) = \{x \in \R: a < x < b\}$
  • halboffen: selbstverständlich...

Obere / Untere Schranke, Maximum / Minimum, Supremum / Infimum

• sei M$M$ eine Teilmenge von \R$\R$.
  • obere Schranke: ein Element b \in M$b \in M$ heißt obere Schranke von M$M$, wenn \forall x \in M: x \leq b$\forall x \in M: x \leq b$
  • untere Schranke: ein Element b \in M$b \in M$ heißt untere Schranke von M$M$, wenn \forall x \in M: b \leq x$\forall x \in M: b \leq x$
  • nach oben bzw. unten beschränkte Menge: wenn eine obere (untere) Schranke von M$M$ existiert, heißt M$M$ nach oben (unten) beschränkt (\exists k \in \R \; \forall s \in M : k \geq s$\exists k \in \R \; \forall s \in M : k \geq s$ bzw. k \leq s$k \leq s$)
  • nach oben bzw. unten unbeschränkte Menge: ist M$M$ nicht nach oben (unten) beschränkt, so heißt M$M$ nach oben (unten) unbeschränkt (\nexists k \in \R \; \forall s \in M : k \geq s$\nexists k \in \R \; \forall s \in M : k \geq s$ bzw. k \leq s$k \leq s$)
  • beschränkte Menge: M$M$ ist nach oben und unten beschränkt, also liegt M$M$ in einem endlichen Interval (\exists R \in \R \; \forall s \in M : |s| < R$\exists R \in \R \; \forall s \in M : |s| < R$)
  • Supremum \sup(M)$\sup(M)$: ein Element b \in \R$b \in \R$ heißt Supremum von M$M$, wenn b$b$ eine kleinste obere Schranke von M$M$ ist (\forall$\forall$ obere Schranke x$x$ von M$M$: b \leq x$b \leq x$)
  • Infimum \inf(M)$\inf(M)$: ein Element b \in \R$b \in \R$ heißt Infimum von M$M$, wenn b$b$ eine größte untere Schranke von M$M$ ist (\forall$\forall$ untere Schranke x$x$ von M$M$: b \geq x$b \geq x$)
  • Maximum \max(M)$\max(M)$: falls M$M$ nach oben beschränkt und das Supremum von M$M$ in M$M$ enthalten ist, bezeichnet man das Supremum auch als Maximum von M$M$
  • Minimum \min(M)$\min(M)$:falls M$M$ nach unten beschränkt und das Infimum von M$M$ in M$M$ enthalten ist, bezeichnet man das Infimum auch als Minimum von M$M$
• Eigenschaften für M \subseteq \R$M \subseteq \R$:
  • M$M$ nach oben beschränkt und nicht leer \implies M$\implies M$ besitzt ein Supremum
  • M$M$ nach unten beschränkt und nicht leer \implies M$\implies M$ besitzt ein Infimum
  • M$M$ nach oben unbeschränkt \implies \sup(M) = + \infty$\implies \sup(M) = + \infty$ (kein Supremum vorhanden!)
  • M$M$ nach unten unbeschränkt \implies \inf(M) = - \infty$\implies \inf(M) = - \infty$ (kein Infimum vorhanden!)
  • Konvention: \sup(\emptyset) = - \infty$\sup(\emptyset) = - \infty$, \inf(\emptyset) = \infty$\inf(\emptyset) = \infty$
• Regeln für Supremum / Infimum: für A, B \subseteq \R$A, B \subseteq \R$ mit \sup(A), \sup(B) \in \R$\sup(A), \sup(B) \in \R$ gelten...
  • \sup(A + B) = \sup(A) + \sup(B)$\sup(A + B) = \sup(A) + \sup(B)$ für A + B = \{a + b : a \in A, b \in B\}$A + B = \{a + b : a \in A, b \in B\}$
    • \inf(A + B) = \inf(A) + \inf(B)$\inf(A + B) = \inf(A) + \inf(B)$
  • \lambda \geq 0 \implies \sup(\lambda A) = \lambda \sup (A)$\lambda \geq 0 \implies \sup(\lambda A) = \lambda \sup (A)$ für \lambda A = \{\lambda a : a \in A\}$\lambda A = \{\lambda a : a \in A\}$
    • \lambda \geq 0 \implies \inf(\lambda A) = \lambda \inf (A)$\lambda \geq 0 \implies \inf(\lambda A) = \lambda \inf (A)$
  • A, B \subseteq [0, \infty) \implies \sup(A \cdot B) = \sup(A) \cdot \sup(B)$A, B \subseteq [0, \infty) \implies \sup(A \cdot B) = \sup(A) \cdot \sup(B)$ für A \cdot B = \{a \cdot b : a \in A, b \in B\}$A \cdot B = \{a \cdot b : a \in A, b \in B\}$
    • \inf(A \cdot B) = \inf(A) \cdot \inf(B)$\inf(A \cdot B) = \inf(A) \cdot \inf(B)$
  • A \subseteq B \implies \sup(A) \leq \sup(B)$A \subseteq B \implies \sup(A) \leq \sup(B)$
    • (!) \inf(A) \geq \inf(B)$\inf(A) \geq \inf(B)$
  • \sup(-A) = -\inf(A)$\sup(-A) = -\inf(A)$ für -A = \{- a : a \in A\}$-A = \{- a : a \in A\}$
    • \inf(-A) = -\sup(A)$\inf(-A) = -\sup(A)$
• eine Funktion f : A \to B$f : A \to B$ ist...
  • nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl s \in \R$s \in \R$ gibt, so dass \forall x \in A: f(x) \leq s$\forall x \in A: f(x) \leq s$
    • s$s$ ist obere Schranke von f$f$
    • die kleinste obere Schranke ist das Supremum von f$f$
  • nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl s \in \R$s \in \R$ gibt, so dass \forall x \in A: f(x) \geq s$\forall x \in A: f(x) \geq s$
    • s$s$ ist untere Schranke von f$f$
    • die größte untere Schranke ist das Infimum von f$f$
• vollständige angeordnete Körper: ein angeordneter Körper K$K$ heißt vollständig, falls...
  • jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt
  • jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge ein Infimum besitzt
  • Axiom: seien A,B \subseteq K$A,B \subseteq K$ nicht leer und \forall a\in A, b \in B: a < b$\forall a\in A, b \in B: a < b$, dann \exists c \in K: a \leq c \leq b \; \forall a \in A, b \in B$\exists c \in K: a \leq c \leq b \; \forall a \in A, b \in B$
• Vollständigkeitsaxiom: \R$\R$ ist vollständig (genauer: \R$\R$ ist der einzige vollständige angeordnete Körper)
  • jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge der reelen Zahlen besitzt ein Supremum (M \subseteq \R, M \neq \emptyset, \exists b \in \R \; \forall x \in M: x \leq b \implies \exists \sup(M)$M \subseteq \R, M \neq \emptyset, \exists b \in \R \; \forall x \in M: x \leq b \implies \exists \sup(M)$)
  • jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge der reelen Zahlen besitzt ein Infimum (M \subseteq \R, M \neq \emptyset, \exists b \in \R \; \forall x \in M: x \geq b \implies \exists \inf(M)$M \subseteq \R, M \neq \emptyset, \exists b \in \R \; \forall x \in M: x \geq b \implies \exists \inf(M)$)
• Bemerkung (Beweis): \mathbb{Q}$\mathbb{Q}$ ist nicht vollständig
  • seien A = \{a \in \mathbb{Q} \; | \; a < \sqrt{2}\}$A = \{a \in \mathbb{Q} \; | \; a < \sqrt{2}\}$, B = \{b \in \mathbb{Q} \; | \; b > \sqrt{2}\}$B = \{b \in \mathbb{Q} \; | \; b > \sqrt{2}\}$
  • wäre \mathbb{Q}$\mathbb{Q}$ vollständig, müsste es eine rationale Zahl q \in \mathbb{Q}$q \in \mathbb{Q}$ geben mit a \leq q \leq b$a \leq q \leq b$ für alle a \in A, b \in B$a \in A, b \in B$
  • \sqrt 2 \notin \mathbb{Q} \implies \mathbb{Q} = A \cup B$\sqrt 2 \notin \mathbb{Q} \implies \mathbb{Q} = A \cup B$, folglich muss q \in A$q \in A$ oder q \in B$q \in B$ gelten
  • Fall 1: q \in A$q \in A$
    • q \in A \implies \sqrt 2 - q > 0 \implies \exists n \in \N : 0 < \frac 1 n < \sqrt 2 - q$q \in A \implies \sqrt 2 - q > 0 \implies \exists n \in \N : 0 < \frac 1 n < \sqrt 2 - q$
    • 0 < \frac 1 n < \sqrt 2 - q \implies q < q + \frac 1 n < \sqrt 2$0 < \frac 1 n < \sqrt 2 - q \implies q < q + \frac 1 n < \sqrt 2$
    • q + \frac 1 n \in A, q < q + \frac 1 n \to$q + \frac 1 n \in A, q < q + \frac 1 n \to$ Widerspruch! (siehe: a \leq q$a \leq q$ für alle a \in A$a \in A$)
  • Fall 2: q \in B$q \in B$
    • q \in B \implies q - \sqrt 2 > 0 \implies \exists m \in \N : 0 < \frac 1 m < q - \sqrt 2$q \in B \implies q - \sqrt 2 > 0 \implies \exists m \in \N : 0 < \frac 1 m < q - \sqrt 2$
    • 0 < \frac 1 m < q - \sqrt 2 \implies \sqrt 2 < q - \frac 1 m < q$0 < \frac 1 m < q - \sqrt 2 \implies \sqrt 2 < q - \frac 1 m < q$
    • q - \frac 1 m \in B, q - \frac 1 m < q \to$q - \frac 1 m \in B, q - \frac 1 m < q \to$ Widerspruch! (siehe: q \leq b$q \leq b$ für alle b \in B$b \in B$)
  • q \notin A, q \notin B, \mathbb{Q} = A \cup B \implies q \notin \mathbb{Q} \implies \mathbb{Q}$q \notin A, q \notin B, \mathbb{Q} = A \cup B \implies q \notin \mathbb{Q} \implies \mathbb{Q}$ ist nicht vollständig
• Beispiele:
  • \sup\{1,2,3\} = 3$\sup\{1,2,3\} = 3$
  • \sup\{x \in \R : 0 < x < 1\} = \sup\{x \in \R : 0 \leq x \leq 1\} = 1$\sup\{x \in \R : 0 < x < 1\} = \sup\{x \in \R : 0 \leq x \leq 1\} = 1$
  • \sup\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\} = \sqrt 2 \notin \mathbb{Q}$\sup\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\} = \sqrt 2 \notin \mathbb{Q}$
  • \sup\{(-1)^n - \frac1n : n \in \N\} = 1$\sup\{(-1)^n - \frac1n : n \in \N\} = 1$
  • \sup \Z = +\infty$\sup \Z = +\infty$

Offene und abgeschlossene reele Mengen

• Umgebung: ein offenes Interval (a,b)$(a,b)$, wofür x \in (a,b)$x \in (a,b)$ gilt, heißt Umgebung von x$x$
  • für ein \delta > 0$\delta > 0$ heißt das offene Interval (x - \delta, x + \delta)$(x - \delta, x + \delta)$ die \delta$\delta$-Umgebung von x$x$
• offene Mengen: eine Menge M$M$ ist offen, falls es für jedes x$x$ aus M$M$ eine reele Zahl \epsilon > 0$\epsilon > 0$ gibt, so dass jeder Punkt y \in \R$y \in \R$, dessen Abstand zu x$x$ kleiner ist als \epsilon$\epsilon$, in M$M$ liegt
  • anschaulich: eine Menge ist offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind
  • Beispiel: (0,1)$(0,1)$
• abgeschlossene Mengen: eine Menge M$M$ ist abgeschlossen, falls ihr Komplement offen ist (\R \backslash M$\R \backslash M$ ist offen)
  • Beispiel: [0,1]$[0,1]$
• Bemerkungen:
  • Theorem: falls M$M$ gleichzeitig offen und abgeschlossen ist, ist M = \emptyset$M = \emptyset$ oder M = \R$M = \R$
    • \R$\R$ ist offen, dabei ist \emptyset$\emptyset$ abgeschlossen
    • \emptyset$\emptyset$ ist offen, dabei ist \R$\R$ abgeschlossen
  • jedes offene Interval ist eine offene Menge
  • die Vereinigung offener Mengen ist eine offene Menge
  • jedes abgeschlossene Interval ist eine abgeschlossene Menge
  • jede endliche Menge ist abgeschlossen
  • a < b$a < b$: das Interval [a,b)$[a,b)$ ist weder offen, noch abgeschlossen
  • \mathbb{Q}$\mathbb{Q}$ ist weder offen, noch abgeschlossen

Euklidischer Vektorraum, Ungleichungen

• euklidischer Vektorraum \R^n := \{(x_1, ... ,x_n) : x_1, ... , x_n \in \R^n\}$\R^n := \{(x_1, ... ,x_n) : x_1, ... , x_n \in \R^n\}$:
  • Addition: (x_1, ... ,x_n) + (y_1, ... ,y_n) = (x_1 + y_1, ... ,x_n + y_n)$(x_1, ... ,x_n) + (y_1, ... ,y_n) = (x_1 + y_1, ... ,x_n + y_n)$
  • Produkt mit \lambda \in \R$\lambda \in \R$: \lambda \cdot (x_1, ... ,x_n) = (\lambda \cdot x_1, ... ,\lambda \cdot x_n)$\lambda \cdot (x_1, ... ,x_n) = (\lambda \cdot x_1, ... ,\lambda \cdot x_n)$
  • Skalarprodukt \lang x,y \rang$\lang x,y \rang$: (x_1, ... ,x_n) \cdot (y_1, ... ,y_n) = \sum_{k=1}^n x_ky_k$(x_1, ... ,x_n) \cdot (y_1, ... ,y_n) = \sum_{k=1}^n x_ky_k$
  • euklidische Norm: ||(x_1, ... , x_n)|| = \sqrt{\lang x,x \rang} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$||(x_1, ... , x_n)|| = \sqrt{\lang x,x \rang} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$
• Eigenschaften des Skalarprodukts:
  • bilinear:
    • 1. Argument: \lang \lambda x + x', y \rang = \lambda \lang x,y \rang + \lang x', y\rang$\lang \lambda x + x', y \rang = \lambda \lang x,y \rang + \lang x', y\rang$
    • 2. Argument: \lang x, \lambda y + y' \rang = \lambda \lang x,y \rang + \lang x, y'\rang$\lang x, \lambda y + y' \rang = \lambda \lang x,y \rang + \lang x, y'\rang$
  • symmetrisch: \lang x,y \rang = \lang y,x \rang$\lang x,y \rang = \lang y,x \rang$
  • positiv definit:
    • \lang x,x \rang \geq 0$\lang x,x \rang \geq 0$
    • \lang x,x \rang = 0 \iff x = 0$\lang x,x \rang = 0 \iff x = 0$
• REZEPT: Prüfe, ob eine Abbildung ein Skalarprodukt ist:
  • eine Abbildung ist ein Skalarprodukt, wenn Linearität im I. Argument, Symmetrie und positive Definitheit gelten

Ungleichungen

• Cauchy-Schwarz-Ungleichung: |\lang x,y\rang| \leq ||x|| \cdot ||y||$|\lang x,y\rang| \leq ||x|| \cdot ||y||$
  • äquivalent: |\lang x,y \rang|^2 \leq \lang x,x \rang \cdot \lang y,y \rang$|\lang x,y \rang|^2 \leq \lang x,x \rang \cdot \lang y,y \rang$
  • |\lang x,y\rang| = ||x|| \cdot ||y|| \iff \exists \lambda \in \R: x = \lambda y$|\lang x,y\rang| = ||x|| \cdot ||y|| \iff \exists \lambda \in \R: x = \lambda y$ oder y = \lambda x$y = \lambda x$
  • Beweis(e): hier
• Dreiecksungleichung: ||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$ für alle x,y \in \R^n$x,y \in \R^n$
  • ||x+y|| = ||x|| + ||y|| \iff \exists \lambda \in \R, \lambda \geq 0: x = \lambda y$||x+y|| = ||x|| + ||y|| \iff \exists \lambda \in \R, \lambda \geq 0: x = \lambda y$ oder y = \lambda x$y = \lambda x$
  • für reele Zahlen: |x+y| \leq |x| + |y|$|x+y| \leq |x| + |y|$
  • Beweis (mit Cauchy-Schwarz): ||x+y||^2 = ||x||^2 + 2\lang x,y\rang + ||y||^2 \leq ||x||^2 + 2||x|| \cdot ||y|| + ||y||^2 = (||x|| + ||y||)^2$||x+y||^2 = ||x||^2 + 2\lang x,y\rang + ||y||^2 \leq ||x||^2 + 2||x|| \cdot ||y|| + ||y||^2 = (||x|| + ||y||)^2$
  • umgekehrte Dreiecksungleichung: |x-y| \geq |\;|x| - |y| \;|$|x-y| \geq |\;|x| - |y| \;|$
• Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel für nichtnegative Zahlen: \sqrt[n]{x_1 \cdot ... \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + ... + x_n}n$\sqrt[n]{x_1 \cdot ... \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + ... + x_n}n$
  • \sqrt[n]{x_1 \cdot ... \cdot x_n} = \frac{x_1 + ... + x_n}n \iff x_1 = ... = x_n$\sqrt[n]{x_1 \cdot ... \cdot x_n} = \frac{x_1 + ... + x_n}n \iff x_1 = ... = x_n$
  • für zwei nichtnegative Zahlen: \sqrt{xy} \leq \frac{x+y}2$\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}2$
  • Beweis (für zwei Zahlen):
    • 0 \leq (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 -4xy = (x+y)^2 - 4xy$0 \leq (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 -4xy = (x+y)^2 - 4xy$
    • 0 \leq (x+y)^2 - 4xy \implies 4xy \leq (x+y)^2 \implies xy \leq \frac{(x+y^2)}4 = (\frac{x+y}2)^2...$0 \leq (x+y)^2 - 4xy \implies 4xy \leq (x+y)^2 \implies xy \leq \frac{(x+y^2)}4 = (\frac{x+y}2)^2...$

Folgen

• Folge / Sequenz: eine Folge ist eine Auflistung von endlich oder unendlich vielen fortlaufen nummerierten Objekten (e.g. Zahlen)
  • formal: a: \N \to X$a: \N \to X$, i \mapsto a_i$i \mapsto a_i$ (Index i$i$, Folgeglied a_i$a_i$)
    
  • Angabemöglichkeiten:
    • explizit: x_n = 2^n$x_n = 2^n$
    • rekursiv: x_{n+1} = 2x_n, x_0 = 1$x_{n+1} = 2x_n, x_0 = 1$
  • Beispiel: (p_n)_{i \in \N} = (2,3,5,7,11,13,...)$(p_n)_{i \in \N} = (2,3,5,7,11,13,...)$ ist die Folge der Primzahlen
• Monotonie:
  • monoton wachsend: \forall n \in \N: a_{n+1} \geq a_n$\forall n \in \N: a_{n+1} \geq a_n$ (von Glied zu Glied gleich oder zunehmend)
    • streng monoton wachsend: \forall n \in \N: a_{n+1} > a_n$\forall n \in \N: a_{n+1} > a_n$ (von Glied zu Glied zunehmend)
    • Beispiel: a_k = -\frac1k = \left(-1, -\frac12, -\frac13...\right)$a_k = -\frac1k = \left(-1, -\frac12, -\frac13...\right)$ ist streng monton wachsend
  • monoton fallend: \forall n \in \N: a_{n+1} \leq a_n$\forall n \in \N: a_{n+1} \leq a_n$ (von Glied zu Glied gleich oder senkend)
    • streng monoton fallend: \forall n \in \N: a_{n+1} < a_n$\forall n \in \N: a_{n+1} < a_n$ (von Glied zu Glied senkend)
    • Beispiel: a_k = \frac1k = \left(1, \frac12, \frac13...\right)$a_k = \frac1k = \left(1, \frac12, \frac13...\right)$ ist streng monton fallend
  • Gegenbeispiel: a_k = (-1)^k = (-1, 1, -1, 1, ...)$a_k = (-1)^k = (-1, 1, -1, 1, ...)$ ist weder monoton fallend noch steigend (also insgesamt nicht monoton)
• Beschränktheit:
  • eine Folge heißt nach oben / unten beschränkt, wenn sie eine obere / untere Schranke S$S$ besitzt, so dass \forall i \in \N: a_i \leq S$\forall i \in \N: a_i \leq S$ bzw. \forall i \in \N: a_i \geq S$\forall i \in \N: a_i \geq S$
    
  • die kleinste obere Schranke / größte untere Schranke einer Folge heißt das Supremum / Infimum
  • eine Folge heißt beschränkt, wenn sie zugleich nach oben und nach unten beschränkt ist
    • äquivalent: a_n$a_n$ heißt beschränkt, falls die Menge \{a_n : n \in \N\}$\{a_n : n \in \N\}$ beschränkt ist
    • äquivalent²: \exists K > 0 \; \forall n \in \N: |a_n| \leq K$\exists K > 0 \; \forall n \in \N: |a_n| \leq K$
  • Satz für Beschränktheit von konvergenten Folgen: jede konvergente Folge ist beschränkt (aber nicht umgekehrt!)
    • Beweis:
      • sei \lim_{n\to\infty}a_n = a$\lim_{n\to\infty}a_n = a$
      • wegen Konvergenz existiert ein N \in \N$N \in \N$ mit |a_n - a| < 1$|a_n - a| < 1$ für \epsilon = 1, n \geq N$\epsilon = 1, n \geq N$
      • seien t = \min\{a_0, a_1, ..., a_{N-1},a-1\}$t = \min\{a_0, a_1, ..., a_{N-1},a-1\}$ und s = \max\{a_0, a_1, ..., a_{n_0-1}, a+1\}$s = \max\{a_0, a_1, ..., a_{n_0-1}, a+1\}$
      • somit gilt t \leq a_n \leq s$t \leq a_n \leq s$ für alle Folgenglieder \implies (a_n)$\implies (a_n)$ ist beschränkt
• REZEPT: Nachweis der Beschränktheit bzw. Monotonie:
  • wenn alle Folgeglieder positiv / negativ sind, ist die Folge durch 0 nach unten / oben beschränkt
  • \forall n \in \N_0 : a_{n+1} - a_n \geq 0 \implies a_n$\forall n \in \N_0 : a_{n+1} - a_n \geq 0 \implies a_n$ monoton wachsend
  • \forall n \in \N_0 : a_{n+1} - a_n \leq 0 \implies a_n$\forall n \in \N_0 : a_{n+1} - a_n \leq 0 \implies a_n$ monoton fallend
  • \forall n \in \N_0 : \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \implies a_n$\forall n \in \N_0 : \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \implies a_n$ monoton wachsend
  • \forall n \in \N_0 : \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq 1 \implies a_n$\forall n \in \N_0 : \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq 1 \implies a_n$ monoton fallend
  • Monotonie und Beschränktheit können intuitiv vermutet werden und per Induktion bewiesen werden
• Grenzwert / Limes: der Grenzwert ist eine Zahl, der die Folgeglieder beliebig nahekommen
  • formal: a \in \R$a \in \R$ heißt Grenzwert von (a_n)_{n \in \N}$(a_n)_{n \in \N}$, falls zu jedem \epsilon > 0$\epsilon > 0$ ein N \in \N$N \in \N$ existiert, so dass stets |a_n - a| < \epsilon$|a_n - a| < \epsilon$ gilt, falls n \geq N$n \geq N$
    
  • anders: \epsilon$\epsilon$ ist eine beliebig kleine positive Zahl; es ist dann stets möglich, ein genügend großes N$N$ zu finden, dass a_N$a_N$ und alle darauf folgenden Glieder die Bedingung erfüllen
    • \lim_{n \to \infty}a_n = a \iff \forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \N \; \forall n \geq N : |a_n - a| < \epsilon$\lim_{n \to \infty}a_n = a \iff \forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \N \; \forall n \geq N : |a_n - a| < \epsilon$
  • Schreibweisen: \lim_{n \to \infty} a_n = a$\lim_{n \to \infty} a_n = a$ oder kurz a_n \to a$a_n \to a$ (die Folge a_n$a_n$ konvergiert gegen a$a$)
  • Konvergenz / Divergenz:
    • die Folge a_n$a_n$ konvergiert, wenn der Grenzwert a$a$ existiert
      
    • die Folge a_n$a_n$ divergiert, wenn kein Grenzwert a$a$ existiert (bestimmt a \to \pm \infty$a \to \pm \infty$, z.B. a_n = n$a_n = n$, oder unbestimmt, z.B. a_n = (-1)^n$a_n = (-1)^n$)
      
  • Eindeutigkeit des Grenzwertes: wenn die Folge a_n$a_n$ einen Grenzwert a$a$ besitzt, ist dieser eindeutig
    • Beweis:
      • seien a, b$a, b$ zwei Grenzwerte von a_n$a_n$, a \neq b$a \neq b$
      • wähle \epsilon < \frac12|a-b|$\epsilon < \frac12|a-b|$, |a-b| > 0$|a-b| > 0$ und betrachte die Umgebungen (a - \epsilon, a + \epsilon), (b - \epsilon, b + \epsilon)$(a - \epsilon, a + \epsilon), (b - \epsilon, b + \epsilon)$
      • (a - \epsilon, a + \epsilon) \cap (b - \epsilon, b + \epsilon) = \emptyset$(a - \epsilon, a + \epsilon) \cap (b - \epsilon, b + \epsilon) = \emptyset$, aber nach Definition des Grenzwertes müssen ab einem bestimmten Index alle Folgeglieder in der \epsilon$\epsilon$-Umgebung des Grenzwertes liegen, was nur dann möglich wäre, wenn a = b$a = b$
  • Lemma: für x_n \to x, y_n \to y$x_n \to x, y_n \to y$, falls \forall n : x_n \leq y_n$\forall n : x_n \leq y_n$, dann x \leq y$x \leq y$
  • bestimmte Divergenz gegen \pm \infty$\pm \infty$: bestimmte Divergenz liegt genau dann vor, wenn eine Folge a_n$a_n$ jede reele Zahl irgendwann überschreitet / unterschreitet und dann darüber / darunter bleibt
    • formal: \forall M \in \R \; \exists N \in \N \; \forall n > N: a_n > M$\forall M \in \R \; \exists N \in \N \; \forall n > N: a_n > M$ bzw. \forall M \in \R \; \exists N \in \N \; \forall n > N: a_n < M$\forall M \in \R \; \exists N \in \N \; \forall n > N: a_n < M$
• Rechenregeln / Hilfsmittel für Grenzwerte:
  • für \lim_{n \to \infty} a_n = a$\lim_{n \to \infty} a_n = a$ gelten für jedes c \in \R$c \in \R$...
    • \lim_{n \to \infty} ca_n = ca$\lim_{n \to \infty} ca_n = ca$
    • \lim_{n \to \infty}(c+a_n) = c +a$\lim_{n \to \infty}(c+a_n) = c +a$
    • \lim_{n \to \infty}(c-a_n) = c - a$\lim_{n \to \infty}(c-a_n) = c - a$
    • \lim_{n \to \infty}\frac c{a_n} = \frac c a$\lim_{n \to \infty}\frac c{a_n} = \frac c a$ für a \neq 0$a \neq 0$
    • \lim_{n \to \infty}(\sqrt{a_n}) = \sqrt a$\lim_{n \to \infty}(\sqrt{a_n}) = \sqrt a$ falls a_n \geq 0$a_n \geq 0$ für alle n$n$
  • für \lim_{n \to \infty} a_n = a$\lim_{n \to \infty} a_n = a$ und \lim_{n \to \infty} b_n = b$\lim_{n \to \infty} b_n = b$ gelten...
    • \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = a + b$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = a + b$
    • \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = a - b$\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = a - b$
    • \lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = ab$\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = ab$
    • \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac a b$\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac a b$ für b \neq 0$b \neq 0$
    • \lim_{n \to \infty}|a_n| = |a|$\lim_{n \to \infty}|a_n| = |a|$
• wichtige Grenzwerte:
  • \lim_{n \to \infty} \frac 1 n = 0$\lim_{n \to \infty} \frac 1 n = 0$
  • \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = 1$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = 1$
  • \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac z n\right)^n = e^z, \; z \in \mathbb{C}$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac z n\right)^n = e^z, \; z \in \mathbb{C}$
  • \lim_{n \to \infty} n(a^\frac{1}{n}-1) = \ln a, \; a \in \R_{>0}$\lim_{n \to \infty} n(a^\frac{1}{n}-1) = \ln a, \; a \in \R_{>0}$
• REZEPT: Grenzwerte für rekursive Folgen:
  1. zeige, dass (a_n)_n$(a_n)_n$ konvergiert (z.B. dadurch, dass die Folge beschränkt und monoton ist)
  2. stelle Fixpunktgleichung auf (ersetze a_{n+1}$a_{n+1}$ und a_n$a_n$ durch a$a$)
  3. löse Fixpunktgleichung
  4. eliminiere Werte von a$a$, die nicht möglich sind
  • Beispiel:
    • sei a_0 = 1$a_0 = 1$ und a_{n+1} = \sqrt{2a_n}$a_{n+1} = \sqrt{2a_n}$
    • a_n$a_n$ ist beschränkt (0 \leq a_n \leq 2$0 \leq a_n \leq 2$, z.B. Induktion) und monoton wachsend
    • Fixpunktgleichung: a = \sqrt{2a}$a = \sqrt{2a}$
    • Lösungen: a = 0$a = 0$ und a = 2$a = 2$
    • a = 0$a = 0$ ist nicht möglich, da der Anfangswert 1 ist und die Folge monoton wächst, also ist 2 der Grenzwert
• TIPP: bei einer Folge, die als Bruch dargestellt wird, kann im Zähler und Nenner die höchste Potenz von n$n$ "ausgeklammert" werden, um quasi Terme der Form \frac x{n^k} \to 0$\frac x{n^k} \to 0$ zu erzwingen
  • allgemein: für eine Folge a_n = \frac{a_rn^r + ... + a_1n + a_0}{b_sn^s + ... + b_1n + b_0}$a_n = \frac{a_rn^r + ... + a_1n + a_0}{b_sn^s + ... + b_1n + b_0}$ gilt...
    • a_n \to \begin{cases}0 & \text{falls }r < s \\ +\infty & \text{falls }s <r, a_r/b_s \in \R_{> 0} \\ -\infty & \text{falls }s <r, a_r/b_s \in \R_{< 0} \\ a_r/b_s & \text{falls }s=r \end{cases}$a_n \to \begin{cases}0 & \text{falls }r < s \\ +\infty & \text{falls }s <r, a_r/b_s \in \R_{> 0} \\ -\infty & \text{falls }s <r, a_r/b_s \in \R_{< 0} \\ a_r/b_s & \text{falls }s=r \end{cases}$
  • Beispiel: a_n = \frac{3n^2+7n+8}{5n^2-8n+1} = \frac{3 + 7/n + 8/n^2}{5 - 8/n + 1/n^2} \to \frac35$a_n = \frac{3n^2+7n+8}{5n^2-8n+1} = \frac{3 + 7/n + 8/n^2}{5 - 8/n + 1/n^2} \to \frac35$

Beschränkte Folgen, Limes superior und Limes inferior

• Häufungspunkt: eine Zahl a$a$ heißt Häufungspunkt einer Folge a_n$a_n$, wenn es eine Teilfolge a_{n_k}$a_{n_k}$ gibt, die gegen a$a$ konvergiert (\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = a$\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = a$)
  
• Limes superior: als Limes superior wird der größte Häufungspunkt der Folge bezeichnet
  • \limsup a_n = \inf\{\sup\{a_k : k \geq n\} : n \in \N\}$\limsup a_n = \inf\{\sup\{a_k : k \geq n\} : n \in \N\}$
  • für nach oben unbeschränkte Folgen gilt \limsup_{n \to \infty} a_n = \infty$\limsup_{n \to \infty} a_n = \infty$
• Limes inferior: als Limes inferior wird der kleinste Häufungspunkt der Folge bezeichnet
  • \liminf a_n = \sup\{\inf\{a_k : k \geq n\} : n \in \N\}$\liminf a_n = \sup\{\inf\{a_k : k \geq n\} : n \in \N\}$
  • für nach unten unbeschränkte Folgen gilt \liminf_{n \to \infty} a_n = - \infty$\liminf_{n \to \infty} a_n = - \infty$
• x_n \to x \iff \liminf_{n \to \infty} x_n = \limsup_{n \to \infty} x_n = x$x_n \to x \iff \liminf_{n \to \infty} x_n = \limsup_{n \to \infty} x_n = x$
  
• Satz von Bolzano-Weierstraß (Existenz konvergenter Teilfolgen):
  • jede beschränkte Folge (mit unendlich vielen Gliedern) enthält (mindestens) eine konvergente Teilfolge
  • jede beschränkte Folge (mit unendlich vielen Gliedern) hat (mindestens) einen Häufungspunkt
  • jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat (mindestens) einen Häufungspunkt
• Cauchy-Kriterium (entscheide, ob eine Folge konvergiert oder divergiert): eine Folge a_n$a_n$ reeler oder komplexer Zahlen konvergiert gegen einen Grenzwert, wenn es zu jedem \epsilon > 0$\epsilon > 0$ einen Index N$N$ gibt, sodass der Abstand zweier beliebiger Folgeglieder ab diesem Index |a_m - a_n|$|a_m - a_n|$ kleiner als \epsilon$\epsilon$ ist
  • formal: \forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \N \; \forall m,n \geq N : |a_m - a_n| < \epsilon$\forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \N \; \forall m,n \geq N : |a_m - a_n| < \epsilon$
  • Beispiel: a_n = \begin{cases}a_{n+1} = \frac12(1-a_n^2) \\ a_0 = 0\end{cases}$a_n = \begin{cases}a_{n+1} = \frac12(1-a_n^2) \\ a_0 = 0\end{cases}$
    • |a_n+a_{n-1}| = |\frac12(1-a_n^2) - \frac12(1-a_{n-1}^2)| = \frac12|a_n^2 - a_{n-1}^2| = \frac12|a_n+a_{n-1}||a_n+a_{n-1}| \leq \frac12 |a_n+a_{n-1}|$|a_n+a_{n-1}| = |\frac12(1-a_n^2) - \frac12(1-a_{n-1}^2)| = \frac12|a_n^2 - a_{n-1}^2| = \frac12|a_n+a_{n-1}||a_n+a_{n-1}| \leq \frac12 |a_n+a_{n-1}|$
    • wende Gleichung n$n$-mal an: |a_{n+1} - a_n| \leq \left(\frac12\right)^n|a_1-a_0| = \left(\frac12\right)^{n+1}$|a_{n+1} - a_n| \leq \left(\frac12\right)^n|a_1-a_0| = \left(\frac12\right)^{n+1}$
    • setze q = \frac12$q = \frac12$
    • allgemein: |a_m - a_n| \leq \sum_{i=0}^{m-n-1}q^i|a_{n+1}-a_n| \leq \frac{1-q^{m-n}}{1-q}q^{n+1} \leq \frac1{1-q}q^{n+1} = 2q^{n+1} = q^n < \epsilon$|a_m - a_n| \leq \sum_{i=0}^{m-n-1}q^i|a_{n+1}-a_n| \leq \frac{1-q^{m-n}}{1-q}q^{n+1} \leq \frac1{1-q}q^{n+1} = 2q^{n+1} = q^n < \epsilon$
    • laut Cauchy-Kriterium ist für alle n,m > N = \frac{\ln e}{\ln q}$n,m > N = \frac{\ln e}{\ln q}$ die Folge a_n$a_n$ konvergent
• Monotoniekriterium: jede monotone, beschränkte Folge konvergiert
  • formal: \exists N \in \N \; \forall n \geq N: a_n \leq a_{n+1}, \exists K \in \R \; \forall n \geq N :a_n \leq K \implies \lim_{n\to\infty}a_n \leq K$\exists N \in \N \; \forall n \geq N: a_n \leq a_{n+1}, \exists K \in \R \; \forall n \geq N :a_n \leq K \implies \lim_{n\to\infty}a_n \leq K$ (analog fallend)
    
  • Beispiel: a_n = \frac n{n+1}$a_n = \frac n{n+1}$
    • Monotonie: a_n = \frac n{n+1} = \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} < \frac{n(n+2) + 1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2} = a_{n+1}$a_n = \frac n{n+1} = \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} < \frac{n(n+2) + 1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2} = a_{n+1}$
    • Begrenztheit: a_n = \frac n{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac1{n+1} < 1$a_n = \frac n{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac1{n+1} < 1$
    • folgt: \lim_{n\to\infty}a_n \leq 1$\lim_{n\to\infty}a_n \leq 1$
• Sandwichkriterium: wenn eine Folge zwischen zwei konvergierenden Folgen mit demselben Grenzwert liegt, dann muss sie auch gegen diesen Grenzwert konvergieren
  • formal: seien x_n, y_n$x_n, y_n$ zwei reele Folgen mit x_n \to a, y_n \to a, x_n \leq y_n$x_n \to a, y_n \to a, x_n \leq y_n$
  • ist w_n$w_n$ eine weitere Folge mit x_n \leq w_n \leq y_n$x_n \leq w_n \leq y_n$, so gilt w_n \to a$w_n \to a$
    
  • Beispiel: w_n = \frac{1}{n + \log n^2 + 3}$w_n = \frac{1}{n + \log n^2 + 3}$
    • 0 \leq \frac{1}{n + \log n^2 + 3} \leq \frac1n \implies w_n \to 0$0 \leq \frac{1}{n + \log n^2 + 3} \leq \frac1n \implies w_n \to 0$

Reihen

• Reihe / Summenfolge: eine Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden
  • formal: s_n := a_0 + ... + a_n = \sum_{k = 0}^n a_k$s_n := a_0 + ... + a_n = \sum_{k = 0}^n a_k$
  • Beispiel: \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac1{16} + ...$\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac1{16} + ...$
• Konvergenz: konvergiert die Reihe s_n = \sum_{k=0}^\infty a_k$s_n = \sum_{k=0}^\infty a_k$, so nennt man ihren Grenzwert s = \lim_{n \to \infty}s_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^na_k$s = \lim_{n \to \infty}s_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^na_k$ den Wert / Summe der Reihe
  • eindeutig, wird als s = \sum_{k = 0}^\infty a_k$s = \sum_{k = 0}^\infty a_k$ bezeichnet
    
  • absolute Konvergenz: eine Reihe ist absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge \sum_{n=0}^\infty|a_n|<\infty$\sum_{n=0}^\infty|a_n|<\infty$ konvergiert
    • Beispiele:
      • \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ ist wegen \sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\right| = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\right| = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ absolut konvergent (siehe Basler Problem)
      • \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n$ ist zwar konvergent (gegen \ln(2)$\ln(2)$), aber wegen \sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n-1}}n\right| = \sum_{n=1}^\infty\frac1n$\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n-1}}n\right| = \sum_{n=1}^\infty\frac1n$ nicht absolut konvergent (siehe harmonische Reihe)
• geometrische Reihe: eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge (der Quotient q$q$ zweier benachbarter Folgeglieder ist konstant)
  • geometrische Summenformel: \forall q \neq 1, n \in \N_0:\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$\forall q \neq 1, n \in \N_0:\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
  • divergenter Fall für |q| \geq 1$|q| \geq 1$: ein Quotient q$q$ mit |q| \geq 1$|q| \geq 1$ ergibt eine divergente geom. Reihe
    • \sum_{k=0}^\infty q^k = \infty$\sum_{k=0}^\infty q^k = \infty$
    • Beispiel: \sum_{k=0}^\infty5\cdot 3^k=5+15+45+135+... = \infty$\sum_{k=0}^\infty5\cdot 3^k=5+15+45+135+... = \infty$
  • konvergenter Fall für |q| < 1$|q| < 1$: ein Quotient q$q$ mit |q| < 1$|q| < 1$ ergibt eine konvergente
    • \sum_{k=0}^\infty q^k = 1 + q + q^2 + ... = \frac 1 {1-q}$\sum_{k=0}^\infty q^k = 1 + q + q^2 + ... = \frac 1 {1-q}$
    • es gelten 0^0 = 1$0^0 = 1$ und \lim_{a \to 0} a^a = 1$\lim_{a \to 0} a^a = 1$
    • Beispiel: \sum_{k=0}^\infty\left(\frac12\right)^k = 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + ... = \frac1{1-\frac12} = 2$\sum_{k=0}^\infty\left(\frac12\right)^k = 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + ... = \frac1{1-\frac12} = 2$
• harmonische Reihe: die harmonische Reihe ist die Reihe, die durch Summation der Glieder 1, \frac 1 2, \frac 1 3, \frac 1 4...$1, \frac 1 2, \frac 1 3, \frac 1 4...$ entsteht
  • n-te harmonische Zahl / n-te Partialsumme: H_n = \sum_{k=1}^n \frac 1 k = 1 + \frac 1 2 + ... + \frac 1 n$H_n = \sum_{k=1}^n \frac 1 k = 1 + \frac 1 2 + ... + \frac 1 n$
  • Divergenz: \sum_{k=1}^\infty \frac 1 n = \infty$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 n = \infty$
    • Beweis (Minorantenkriterium):
      • H_n = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... + 1/n \\ \geq 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ... + 1/n \\= 1 + 1/2 + 1/2 + ... + 1/n \to \infty$H_n = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... + 1/n \\ \geq 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ... + 1/n \\= 1 + 1/2 + 1/2 + ... + 1/n \to \infty$
• Exponentialreihe: \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$
  
• Regeln:
  • \sum_{k=0}^\infty a_k = a, \sum_{k=0}^\infty b_k = b \implies \sum_{k=0}^\infty (a_k+b_k) = a+b$\sum_{k=0}^\infty a_k = a, \sum_{k=0}^\infty b_k = b \implies \sum_{k=0}^\infty (a_k+b_k) = a+b$
  • \sum_{k=0}^\infty a_k = a \implies \sum_{k=0}^\infty ca_k = c \sum_{k=0}^\infty a_k = ca$\sum_{k=0}^\infty a_k = a \implies \sum_{k=0}^\infty ca_k = c \sum_{k=0}^\infty a_k = ca$
• Cauchy-Kriterium für Reihen: eine Reihe \sum_{k=1}^\infty a_k$\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert, wenn zu jedem Abstand \epsilon > 0$\epsilon > 0$ ein Mindestindex N$N$ existiert, so dass für alle Indizes n \geq m \geq N$n \geq m \geq N$ der Betrag von \sum_{k=m}^n a_k$\sum_{k=m}^n a_k$ kleiner als \epsilon$\epsilon$ ist
  • formal: \forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \N \; \forall n \geq m \geq N: |\sum_{k=m}^na_k| < \epsilon$\forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \N \; \forall n \geq m \geq N: |\sum_{k=m}^na_k| < \epsilon$
  • äquivalent: eine konvergente Reihe erfüllt das Cauchy-Kriterium, und umgekehrt besitzt jede reelle Reihe, die das Cauchy-Kriterium erfüllt, einen reellen Grenzwert
• Satz: ist s_n = \sum_{k=0}^n a_k$s_n = \sum_{k=0}^n a_k$ eine reele Reihe mit a_k \geq 0$a_k \geq 0$ für alle k \in \N_0$k \in \N_0$, so ist (s_n)$(s_n)$ konvergent genau dann, wenn (s_n)$(s_n)$ beschränkt ist

Vergleichskriterien für Konvergenz

• Nullfolgenkriterium: bildet die Folge der Summanden einer Reihe keine Nullfolge, dann divergiert die Reihe
  • Beispiel: \sum_{i=1}^\infty \frac i{i+1}$\sum_{i=1}^\infty \frac i{i+1}$ divergiert, denn \lim_{i \to \infty}\frac i{i+1} = 1 \neq 0$\lim_{i \to \infty}\frac i{i+1} = 1 \neq 0$
• Majorante: ist \sum_{k=0}^na_k$\sum_{k=0}^na_k$ eine Reihe mit Werten in \mathbb{C}$\mathbb{C}$, so heißt eine Reihe \sum_{k=0}^nb_k$\sum_{k=0}^nb_k$ mit b_k \in \R$b_k \in \R$ und |a_k| \leq b_k$|a_k| \leq b_k$ Majorante von \sum_{k=0}^na_k$\sum_{k=0}^na_k$
  • jeder Wert von b_k$b_k$ ist größer oder gleich jedem Wert von a_k$a_k$ im selben Index k$k$
  • Beispiel: \sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n}$\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n}$ ist Majorante von \sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n+1}$\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n+1}$
• Minorante: ist \sum_{k=0}^na_k$\sum_{k=0}^na_k$ eine Reihe mit Werten in \mathbb{C}$\mathbb{C}$, so heißt eine Reihe \sum_{k=0}^nb_k$\sum_{k=0}^nb_k$ mit b_k \in \R$b_k \in \R$ und |a_k| \geq b_k$|a_k| \geq b_k$ Minorante von \sum_{k=0}^na_k$\sum_{k=0}^na_k$
  • jeder Wert von b_k$b_k$ ist kleiner oder gleich jedem Wert von a_k$a_k$ im selben Index k$k$
  • Beispiel: \sum_{n=1}^\infty\frac1n$\sum_{n=1}^\infty\frac1n$ ist Minorante von \sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt n}$\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt n}$
• Majorantenkriterium: eine unendliche Reihe \sum_{n=0}^\infty a_n$\sum_{n=0}^\infty a_n$, die eine konvergente Majorante mit nichtnegativen Summanden \sum_{n=0}^\infty b_n$\sum_{n=0}^\infty b_n$ besitzt, ist absolut konvergent
  • formal: sei \sum_{n=0}^\infty b_n$\sum_{n=0}^\infty b_n$ mit b_n \geq 0 \; \forall n \in \N$b_n \geq 0 \; \forall n \in \N$ konvergent, dann \forall n \geq n_0: |a_n| \leq b_n \implies \sum_{n=0}^\infty a_n$\forall n \geq n_0: |a_n| \leq b_n \implies \sum_{n=0}^\infty a_n$ konvergiert absolut
  • Beispiel: prüfe, ob \sum_{n=1}^\infty\frac1{(n^2+5)^2}$\sum_{n=1}^\infty\frac1{(n^2+5)^2}$ konvergiert
    • \left|\frac1{(n^2+5)^2}\right| = \frac1{(n^2+5)^2} = \frac1{n^4+10n^2+25} < \frac1{n^4} \leq \frac1{n^2}$\left|\frac1{(n^2+5)^2}\right| = \frac1{(n^2+5)^2} = \frac1{n^4+10n^2+25} < \frac1{n^4} \leq \frac1{n^2}$
    • \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ konvergiert, also konvergiert \sum_{n=1}^\infty\frac1{(n^2+5)^2}$\sum_{n=1}^\infty\frac1{(n^2+5)^2}$ absolut
• Minorantenkriterium: eine unendliche Reihe \sum_{n=0}^\infty a_n$\sum_{n=0}^\infty a_n$, die eine divergente Minorante mit nichtnegativen Summanden \sum_{n=0}^\infty b_n$\sum_{n=0}^\infty b_n$ besitzt, ist divergent
  • formal: sei \sum_{n=0}^\infty b_n$\sum_{n=0}^\infty b_n$ mit b_n \geq 0 \; \forall n \in \N$b_n \geq 0 \; \forall n \in \N$ divergent, dann \forall n \geq n_0: a_n \geq b_n \implies \sum_{n=0}^\infty a_n$\forall n \geq n_0: a_n \geq b_n \implies \sum_{n=0}^\infty a_n$ divergent
  • Beispiel: prüfe, ob \sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n(n+1)}}$\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n(n+1)}}$ divergiert
    • \frac1{\sqrt{n(n+1)}} > \frac1{\sqrt{(n+1)(n+1)}} = \frac1{\sqrt{(n+1)^2}} = \frac1{n+1} \geq \frac1{2n}$\frac1{\sqrt{n(n+1)}} > \frac1{\sqrt{(n+1)(n+1)}} = \frac1{\sqrt{(n+1)^2}} = \frac1{n+1} \geq \frac1{2n}$
    • \sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}$\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}$ divergiert, also divergiert \sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n(n+1)}}$\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt{n(n+1)}}$
• Quotientenkriterium: die Abschätzung einer Reihe (als geometrische Reihe) ist genau dann konvergent, wenn der Betrag der Folgeglieder abnimmt, also der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder q$q$ kleiner als 1 ist, sonst ist sie divergent
  • formal: sei \sum_{n=0}^\infty a_n$\sum_{n=0}^\infty a_n$ eine reele oder komplexe Reihe mit a_n \neq 0$a_n \neq 0$ für n \to \infty$n \to \infty$
  • gibt es ein q < 1$q < 1$ und n_0 \geq 0$n_0 \geq 0$, so dass \forall k \geq n_0: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q < 1$\forall k \geq n_0: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q < 1$, ist die Reihe absolut konvergent
    • Beispiel: \sum_{n=0}^\infty\frac{5+n}{10^n}$\sum_{n=0}^\infty\frac{5+n}{10^n}$
      • \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{5+(n+1)}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{5+n} = \frac1{10} \cdot \frac{6+n}{5+n} \leq \frac3{25} < 1 \implies$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{5+(n+1)}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{5+n} = \frac1{10} \cdot \frac{6+n}{5+n} \leq \frac3{25} < 1 \implies$ die Reihe ist absolut konvergent
  • gilt stattdessen |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \geq 1$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \geq 1$, so divergiert die Reihe
    • Beispiel: \sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{2^n}$\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{2^n}$
      • \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{n+1}2 \geq 1 \implies$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{n+1}2 \geq 1 \implies$ die Reihe ist divergent
  • alternativ: für S = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$S = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ gilt...
    • S < 1 \implies$S < 1 \implies$ die Reihe konvergiert absolut
    • S > 1 \implies$S > 1 \implies$ die Reihe divergiert
    • S = 1 \implies$S = 1 \implies$ unbestimmt
• Monotoniekriterium: eine Reihe mit nichtnegativen reellen Summanden konvergiert genau dann, wenn ihre Partialsummen nach oben beschränkt sind
  • formal: \exists N \in \N \; \forall i \geq N : a_i \geq 0, \exists K \in \R : \sum_{i=1}^na_i \leq K \implies \sum_{i=1}^\infty a_i = \lim_{n \to \infty} s_n \leq K$\exists N \in \N \; \forall i \geq N : a_i \geq 0, \exists K \in \R : \sum_{i=1}^na_i \leq K \implies \sum_{i=1}^\infty a_i = \lim_{n \to \infty} s_n \leq K$ (analog fallend)
  • Beispiel: \sum_{i=1}^\infty \frac1{i^2} = 1 + \frac14+ \frac19 + ...$\sum_{i=1}^\infty \frac1{i^2} = 1 + \frac14+ \frac19 + ...$

Alternierende Reihen, Umordnungen

• alternierende Reihe: eine alternierende Reihe ist eine unendliche Reihe, dessen Glieder abwechselnde Vorzeichen haben
  • formal: \sum_{k=0}^\infty (-1)^ka_k$\sum_{k=0}^\infty (-1)^ka_k$
  • Beispiel: \ln(2) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}k = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + ...$\ln(2) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}k = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + ...$
• Leibniz-Kriterium: ist (a_n)$(a_n)$ eine monoton fallende, reele Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe \sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n$\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n$
  • formal: \forall n \in \N : a_{n+1} \leq a_n, \lim_{n \to \infty}a_n = 0 \implies \sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n$\forall n \in \N : a_{n+1} \leq a_n, \lim_{n \to \infty}a_n = 0 \implies \sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n$ konvergiert
    
  • Abschätzung des Restglieds der Summe nach N$N$ Summanden: \left|\sum_{n=N+1}^\infty(-1)^na_n\right| \leq a_{N+1}$\left|\sum_{n=N+1}^\infty(-1)^na_n\right| \leq a_{N+1}$
  • Beispiel (Leibniz-Reihe, unrelated): \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1} = 1-\frac13+\frac15-\frac17... = \arctan1=\frac\pi4$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1} = 1-\frac13+\frac15-\frac17... = \arctan1=\frac\pi4$
  • Beweis:
    • sei (s_0, s_2, s_4, ...) = (s_{2k})_{k\in\N_0}$(s_0, s_2, s_4, ...) = (s_{2k})_{k\in\N_0}$ die Folge der Partialsummen von s=\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n$s=\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n$
    • Schritt 1: (s_{2k})$(s_{2k})$ ist monton fallend
      • (a_k)_{k\in\N_0}$(a_k)_{k\in\N_0}$ ist monoton fallend \implies s_{2k+2} = s_{2k}-a_{2k+1}+a_{2k+2} \leq s_{2k}$\implies s_{2k+2} = s_{2k}-a_{2k+1}+a_{2k+2} \leq s_{2k}$
    • Schritt 2: (s_{2k})$(s_{2k})$ ist nach unten beschränkt
      • s_{2k} = (a_0 - a_1) + (a_2 - a_3) + ... + (a_{2k-2}-a_{2k-1}) + a_{2k} \geq a_{2k} \geq 0$s_{2k} = (a_0 - a_1) + (a_2 - a_3) + ... + (a_{2k-2}-a_{2k-1}) + a_{2k} \geq a_{2k} \geq 0$
    • aus (1) und (2) folgen laut Monotoniekriterium, dass (s_{2k})$(s_{2k})$ konvergiert
    • beweise analog, dass (s_1, s_3, s_5, ...) = (s_{2k+1})_{k\in\N_0}$(s_1, s_3, s_5, ...) = (s_{2k+1})_{k\in\N_0}$ konvergiert
    • \lim_{k\to\infty}s_{2k+1} = \lim_{k\to\infty}(s_{2k}-a_{2k+1}) \\= \lim_{k\to\infty}s_{2k} - \lim_{k\to\infty}a_{2k+1} = \lim_{k\to\infty}s_{2k} - 0 \\= \lim_{k\to\infty}s_{2k}$\lim_{k\to\infty}s_{2k+1} = \lim_{k\to\infty}(s_{2k}-a_{2k+1}) \\= \lim_{k\to\infty}s_{2k} - \lim_{k\to\infty}a_{2k+1} = \lim_{k\to\infty}s_{2k} - 0 \\= \lim_{k\to\infty}s_{2k}$
• Umordnungssatz (?): eine Reihe \sum_{k=1}^na_k$\sum_{k=1}^na_k$ konvergiert genau dann absolut, wenn für jede Permutation \sigma$\sigma$ von \N$\N$ die umgeordnete Reihe gegen denselben Wert konvergiert
  • formal: \sum_{k=1}^\infty a_{\sigma(k)} = \sum_{k=1}^\infty a_k$\sum_{k=1}^\infty a_{\sigma(k)} = \sum_{k=1}^\infty a_k$
  • kurz: wenn eine Reihe konvergiert, aber die absolute Variante divergiert, ist sie nicht absolut konvergent, z.B. \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
• Doppelreihensatz (?): falls \sum_{k=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty|a_{k,j}| < \infty$\sum_{k=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty|a_{k,j}| < \infty$ (abs. konvergiert), gilt \sum_{k=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{k,j} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty a_{k,j}$\sum_{k=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{k,j} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty a_{k,j}$
• Cauchy-Produkt: sind \sum_{n=0}^\infty a_n$\sum_{n=0}^\infty a_n$ und \sum_{n=0}^\infty b_n$\sum_{n=0}^\infty b_n$ zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe \sum_{n=0}^\infty c_n$\sum_{n=0}^\infty c_n$ mit c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} = \sum_{i+j=n}a_ib_j$c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} = \sum_{i+j=n}a_ib_j$ ebenfalls absolut konvergent
  • formal: \left(\sum_{k=0}^\infty a_k\right) \cdot (\sum_{k=0}^\infty b_k) = \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\right) \cdot (\sum_{k=0}^\infty b_k) = \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$
  • zusätzlich gilt \left( \sum_{n=0}^\infty a_n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty b_n \right) = \sum_{n=0}^\infty c_n$\left( \sum_{n=0}^\infty a_n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty b_n \right) = \sum_{n=0}^\infty c_n$
    • \left( \sum_{n=0}^\infty a_n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty b_n \right) = (a_0b_0) + (a_0b_1 + a_1b_0) + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0) + ... + (a_0b_n + a_1b_{n-1} + ... + a_kb_{n-k}+ ... + a_nb_0)$\left( \sum_{n=0}^\infty a_n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty b_n \right) = (a_0b_0) + (a_0b_1 + a_1b_0) + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0) + ... + (a_0b_n + a_1b_{n-1} + ... + a_kb_{n-k}+ ... + a_nb_0)$
  • Beispiel: Beweis, dass e^xe^y = e^{x+y}$e^xe^y = e^{x+y}$
    • bekannt: e^x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$e^x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$, absolut konvergent
    • e^xe^y = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{n=0}^\infty\frac{y^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\frac1{(n-k)!}x^ky^{n-k}$e^xe^y = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{n=0}^\infty\frac{y^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\frac1{(n-k)!}x^ky^{n-k}$
    • {n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \implies ... = \sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}${n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \implies ... = \sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}$
    • \sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k = (x+y)^n \implies ... = \sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}(x+y)^n = e^{x+y}$\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k = (x+y)^n \implies ... = \sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}(x+y)^n = e^{x+y}$, QED

Funktionen, Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit

• isolierter Punkt: ein Element a$a$ einer Menge X$X$ heißt isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung U_e(a), \epsilon > 0$U_e(a), \epsilon > 0$ von a$a$ gibt, die keine weiteren Elemente aus X$X$ außer a$a$ enthält
  • äquivalent: a$a$ ist isoliert \iff$\iff$ a$a$ ist kein Häufungspunkt von X$X$ (\nexists a_n : \lim_{n\to\infty}a_n = a$\nexists a_n : \lim_{n\to\infty}a_n = a$)
  • Beispiele:
    • M := \{0\} \cup [1,2] \Rightarrow$M := \{0\} \cup [1,2] \Rightarrow$ 0 ist ein isolierter Punkt
    • M := \{0\} \cup \{1, \frac12, \frac13, ...\} \Rightarrow$M := \{0\} \cup \{1, \frac12, \frac13, ...\} \Rightarrow$ 0 ist kein isolierter Punkt, dafür aber \frac 1 n \; \forall n \in \N$\frac 1 n \; \forall n \in \N$
    • \N \Rightarrow$\N \Rightarrow$ alle Elemente sind isolierte Punkte
• Grenzwert einer Funktion: der Limes / Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle p$p$ ist der Wert L$L$, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert, falls dieser existiert
  
  • (!) p$p$ muss nicht im Definitionsbereich D$D$ von f$f$ enthalten sein, muss aber ein Häufungspunkt von D$D$ sein (oder \pm \infty$\pm \infty$)
  • Schreibweise: \lim_{x \to p}f(x) = a$\lim_{x \to p}f(x) = a$ (oder \pm \infty$\pm \infty$)
  • formal:
    • sei f: D \to \R$f: D \to \R$ eine Funktion, p \in \R \cup \{\pm \infty\}$p \in \R \cup \{\pm \infty\}$ ein Häufungspunkt von D$D$ und L \in \R \cup \{\pm \infty\}$L \in \R \cup \{\pm \infty\}$
    • \lim_{x \to p}f(x)=L \iff \forall (x_n)_{n \in \N}, x_n \in D \backslash \{p\}, \lim_{n \to \infty}x_n = p: \lim_{n \to \infty} f(x_n) = L$\lim_{x \to p}f(x)=L \iff \forall (x_n)_{n \in \N}, x_n \in D \backslash \{p\}, \lim_{n \to \infty}x_n = p: \lim_{n \to \infty} f(x_n) = L$
• allg. Grenzwertsätze: seien f: D \to \R, g:D \to \R$f: D \to \R, g:D \to \R$ mit \lim_{x \to p}f(x) = a$\lim_{x \to p}f(x) = a$ und \lim_{x \to p}g(x) = b$\lim_{x \to p}g(x) = b$...
  • \lim_{x \to p}(f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to p}f(x) \pm \lim_{x \to p}g(x) = a \pm b$\lim_{x \to p}(f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to p}f(x) \pm \lim_{x \to p}g(x) = a \pm b$
  • \lim_{x \to p}(f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to p}f(x) \cdot \lim_{x \to p}g(x) = a \cdot b$\lim_{x \to p}(f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to p}f(x) \cdot \lim_{x \to p}g(x) = a \cdot b$
  • \lim_{x \to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to p}f(x)}{\lim_{x \to p}g(x)} = \frac a b$\lim_{x \to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to p}f(x)}{\lim_{x \to p}g(x)} = \frac a b$ für b \neq 0$b \neq 0$
• stetige Funktionen: eine stetige Funktion ist anschaulich eine zusammenhängende Funktion, die gezeichnet werden kann, ohne den Stift zu heben
  • formal: eine Funktion f : D \to \R$f : D \to \R$ heißt stetig in x_0 \in D$x_0 \in D$, falls \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$
  • Folgenkriterium: f : D \to \R$f : D \to \R$ stetig in x_0 \iff \forall(a_n)_{n \in \N}, \lim_{n \to \infty} a_n = x_0 : \lim_{n \to \infty}f(a_n) = f(x_0)$x_0 \iff \forall(a_n)_{n \in \N}, \lim_{n \to \infty} a_n = x_0 : \lim_{n \to \infty}f(a_n) = f(x_0)$
  • äquivalent (Epsilon-Delta-Kriterium): eine Funktion f : D \to \R$f : D \to \R$ heißt stetig in x_0 \in D$x_0 \in D$, falls zu jedem \epsilon > 0$\epsilon > 0$ ein \delta > 0$\delta > 0$ existiert, so dass für alle x \in D$x \in D$ mit |x-x_0| < \delta$|x-x_0| < \delta$ gilt |f(x) - f(x_0)|<\epsilon$|f(x) - f(x_0)|<\epsilon$
  • Beispiel: f(x) = \begin{cases}x &\text{falls }x \leq 1\\ x+1 &\text{falls }x > 1\end{cases}$f(x) = \begin{cases}x &\text{falls }x \leq 1\\ x+1 &\text{falls }x > 1\end{cases}$ ist im Punkt x_0 = 1$x_0 = 1$ nicht stetig
    
  • f$f$ heißt stetig in D$D$. falls f$f$ stetig ist in x$x$ für alle x \in D$x \in D$
  • (!) ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig
  • Satz: sind f,g$f,g$ Funktionen mit Definitionsbereich D$D$ und stetig in x \in D$x \in D$, sind auch f + g, f - g, f \cdot g, \lambda f + \mu g$f + g, f - g, f \cdot g, \lambda f + \mu g$ und \frac f g$\frac f g$ (falls g(x) \neq 0$g(x) \neq 0$) stetig in x$x$
  • Satz: sind f,g$f,g$ stetige Funktionen in x_0$x_0$ mit f(D_f) \subseteq D_g$f(D_f) \subseteq D_g$ (Definitionsbereich von g$g$ umfasst Wertebereich von f$f$), dann ist die Komposition g \circ f$g \circ f$ (g(f(x))$g(f(x))$) auch stetig in x_0$x_0$
  • (!) alle rationale Funktionen, Exponentialfunktionen x \to a^x$x \to a^x$ (für a \in \R_{>0}$a \in \R_{>0}$), trigonometrische Funktionen (\sin, \cos, \tan...$\sin, \cos, \tan...$) und Logarithmusfunktionen sind in ihren Definitionsbereichen stetig
• einseitiger (linksseitiger -$-$ / rechtsseitiger +$+$) Grenzwert: bestimme den Grenzwert einer Funktion an der Stelle x_0$x_0$ "von links / rechts angewandert"
  • formal: f:D \to \R$f:D \to \R$ hat für x \to p+$x \to p+$ den Limes L$L$, wenn es zu jedem \epsilon > 0$\epsilon > 0$ ein \delta > 0$\delta > 0$ gibt, so dass für alle x$x$-Werte aus D$D$, die der Bedingung 0 < x-p < \delta$0 < x-p < \delta$ genügen, auch |f(x)-L| < \epsilon$|f(x)-L| < \epsilon$ gilt (analog x \to p-$x \to p-$)
  • Beispiel: für \frac 1 x$\frac 1 x$ gilt \lim_{x\to 0+}\frac 1 x = \infty$\lim_{x\to 0+}\frac 1 x = \infty$ und \lim_{x\to 0-}\frac 1 x = -\infty$\lim_{x\to 0-}\frac 1 x = -\infty$
  • ein (beidseitiger) Grenzwert existiert dann, wenn man "von beiden Seiten an x_0$x_0$ angewandert" zum selben Wert kommt
    • formal: \exists \lim_{x \to p}f(x) \iff \lim_{x\to p+}f(x) = \lim_{x\to p-}f(x)$\exists \lim_{x \to p}f(x) \iff \lim_{x\to p+}f(x) = \lim_{x\to p-}f(x)$
• links- und rechtsseitige Stetigkeit: die links- / rechtsseitige Stetigkeit ist die Eigenschaft, dass eine Funktion nur von einer Seite aus gesehen stetig ist
  • grob gesagt ist eine Funktion linksstetig, wenn bei Annäherung an den Grenzpunkt von links kein Sprung auftritt (analog rechts)
  • formal: eine Funktion f$f$ heißt linksseitig stetig in x_0 \in D_f$x_0 \in D_f$, falls für den linksseitigen Grenzwert die Gleichung \lim_{x \to x_0-}f(x) = f(x_0)$\lim_{x \to x_0-}f(x) = f(x_0)$ gilt (analog rechtsseitig)
  • Beispiel: f(x) = \begin{cases}0 &\text{falls }x < 0\\1 &\text{falls }x \geq 0\end{cases}$f(x) = \begin{cases}0 &\text{falls }x < 0\\1 &\text{falls }x \geq 0\end{cases}$ ist in 0 rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig
    
  • wenn eine Funktion sowohl links-, als auch rechtsseitig stetig ist, so ist sie allg. stetig in x_0$x_0$
• Fixpunktiteration: Fixpunktiteration ist ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Lösungen einer Gleichung / eines Gleichungssystems der Form \varphi(x) = x$\varphi(x) = x$ mit einer Funktion \varphi$\varphi$ und einer Startnäherung x_1 = \varphi(x_0)$x_1 = \varphi(x_0)$, was dann weiter gelöst wird (x_2 = \varphi(x_1)$x_2 = \varphi(x_1)$ etc.)
  • Beispiel: 2-x^2 = e^x$2-x^2 = e^x$ in M = [0.2;0.7]$M = [0.2;0.7]$
    • erhalte Fixpunktgleichung durch Logarithmieren: \ln(2-x^2) = x$\ln(2-x^2) = x$
    • setze f(x) = \ln(2-x^2)$f(x) = \ln(2-x^2)$
    • x_0 = 0.2 \implies x_1 = f(0.2) = \ln(2-0.2^2) \approx 0.6729$x_0 = 0.2 \implies x_1 = f(0.2) = \ln(2-0.2^2) \approx 0.6729$
    • wiederhole...

Konsequenzen der Stetigkeit, Extrema

• Zwischenwertsatz: sei f$f$ eine auf [a,b]$[a,b]$ definierte stetige Funktion mit f(a) < s < f(b)$f(a) < s < f(b)$ oder f(b) < s < f(a)$f(b) < s < f(a)$, dann gibt es mindestens ein x$x$ mit f(x)=s$f(x)=s$ (Sonderfall: Nullstellensatz für s = 0$s = 0$ und verschiedene Voreichen für f(a)$f(a)$ und f(b)$f(b)$)
  
• Satz vom Minimum und Maximum: jede auf einem reelen Intervall [a,b]$[a,b]$ definierte, reellwertige und stetige Funktion ist beschränkt und nimmt im Definitionsbereich ihr Maximum sowie Minimum an
  
• Fixpunktsatz: ist f : [a,b] \to [a,b]$f : [a,b] \to [a,b]$ stetig, so existiert ein x_0 \in [a,b]$x_0 \in [a,b]$ mit f(x_0) = x_0$f(x_0) = x_0$
• Extrema: f: D \to \R$f: D \to \R$ hat an der Stelle x_0 \in D$x_0 \in D$...
  
  • ein lokales Minimum, wenn: \exists I = (a,b), x_0 \in I \; \forall x \in I \cap D : f(x_0) \leq f(x)$\exists I = (a,b), x_0 \in I \; \forall x \in I \cap D : f(x_0) \leq f(x)$
  • ein globales Minimum, wenn: \forall x \in D : f(x_0) \leq f(x)$\forall x \in D : f(x_0) \leq f(x)$
  • ein lokales Maximum, wenn: \exists I = (a,b), x_0 \in I \; \forall x \in I \cap D : f(x_0) \geq f(x)$\exists I = (a,b), x_0 \in I \; \forall x \in I \cap D : f(x_0) \geq f(x)$
  • ein globales Maximum, wenn: \forall x \in D : f(x_0) \geq f(x)$\forall x \in D : f(x_0) \geq f(x)$
• Existenz von Extrema: falls f : [a,b] \to \R$f : [a,b] \to \R$ stetig ist, nimmt f$f$ ein globales Maximum und ein globales Minimum an
• REZEPT: Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen
  • notwendiges Kriterium: f'(x_0) = 0$f'(x_0) = 0$
  • hinreichendes Kriterium (zweite Ableitung): f''(x_0) \neq 0$f''(x_0) \neq 0$
    • f''(x_0) > 0 \implies$f''(x_0) > 0 \implies$ lokales Minimum
    • f''(x_0) < 0 \implies$f''(x_0) < 0 \implies$ lokales Maximum
  • hinreichendes Kriterium (VZW der ersten Ableitung):
    • VZW + \to -$+ \to -$: lokales Maximum
    • VZW - \to +$- \to +$: lokales Minimum
  • untersuche das Verhalten von f$f$ in den Randpunkten
    • D = [a,b] \implies$D = [a,b] \implies$ bestimme f(a), f(b)$f(a), f(b)$
    • D = (a,b) \implies$D = (a,b) \implies$ bestimme \lim_{x\to a}f(x), \lim_{x \to b}f(x)$\lim_{x\to a}f(x), \lim_{x \to b}f(x)$
    • D = [a,b) \implies$D = [a,b) \implies$ bestimme f(a), \lim_{x \to b}f(x)$f(a), \lim_{x \to b}f(x)$
    • D = (a,b] \implies$D = (a,b] \implies$ bestimme \lim_{x\to a}f(x), f(b)$\lim_{x\to a}f(x), f(b)$
  • das größte lokale Maximum ist das globale Maximum, das kleinste lokale Minimum ist das globale Minimum (falls diese existieren!)

Höhere Dimensionen (?)

• eine Folge (x_n)$(x_n)$ in \R^d$\R^d$ konvergiert gegen ein x\in R^d$x\in R^d$, falls \lim_{n\to\infty}||x_n - x|| = 0$\lim_{n\to\infty}||x_n - x|| = 0$
  • für D \subseteq \R^d, x \in D$D \subseteq \R^d, x \in D$ heißt f : D \to \R$f : D \to \R$ in x$x$ stetig, falls für jede Folge (x_n)$(x_n)$ in D$D$ mit Grenzwert x$x$ gilt f(x) = \lim_{n\to\infty}f(x_n)$f(x) = \lim_{n\to\infty}f(x_n)$
    • äquivalent: f$f$ heißt stetig, falls f$f$ in x$x$ für jedes x \in D$x \in D$ stetig ist
• beschränkte Mengen: eine Menge D \subseteq \R^d$D \subseteq \R^d$ heißt beschränkt, falls es ein K \in \R$K \in \R$ existiert, so dass \forall x \in D : ||x|| \leq K$\forall x \in D : ||x|| \leq K$
• beschränkte Folgen: eine Folge (x_n) \in \R^d$(x_n) \in \R^d$ heißt beschränkt, falls \{x_n : n \in \N\}$\{x_n : n \in \N\}$ beschränkt ist
  • für jedes n$n$ schreibt man x_n = (x_{n,1},...,x_{n,d})$x_n = (x_{n,1},...,x_{n,d})$ für x_{n,k} \in \R, 1 \leq k \leq d$x_{n,k} \in \R, 1 \leq k \leq d$
• kompakte Mengen: eine Teilmenge von \R$\R$ ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist (z.B. [a,b], a < b \in \R$[a,b], a < b \in \R$)
  • äquivalent: sie enthält keine Folge, die zwar konvergiert, deren Grenzwert jedoch nicht zur Menge gehört
• Satz: sei D$D$ kompakt und f : D \to \R$f : D \to \R$ stetig, dann hat f$f$ ein Maximum und ein Minimum
• Satz: eine Folge (x_n) \in \R^d$(x_n) \in \R^d$ konvergiert genau dann gegen x \in \R^d$x \in \R^d$, falls für 1 \leq k \leq d$1 \leq k \leq d$ die Komponentenfolgen (x_{n,k})_{n=1,2,...}$(x_{n,k})_{n=1,2,...}$ gegen x_k$x_k$ gehen
• Folgerung zum Satz von Bolzano-Weierstraß: jede beschränkte Folge in \R^d$\R^d$ hat eine konvergente Teilfolge und damit einen Häufungspunkt
• Lemma: stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt (f(D) = \{f(x) : x \in D\}$f(D) = \{f(x) : x \in D\}$)

Umkehrfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktion

• Umkehrfunktion: die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist
  • formal: sei f : A \to B$f : A \to B$ bijektiv (d.h. \forall y \in B \; \exists! x \in A : f(x) = y$\forall y \in B \; \exists! x \in A : f(x) = y$), so ordnet f^{-1} : B \to A$f^{-1} : B \to A$ jedem Element von B$B$ ihr eindeutig definiertes Urbildelement unter f$f$ zu (f^{-1}(y) = x$f^{-1}(y) = x$)
  • Bemerkung: man erhält den Graphen von f^{-1}$f^{-1}$, indem man den Graphen von f$f$ an der Geraden y = x$y = x$ spiegelt
  • (!) Umkehrfunktion von \exp$\exp$: \ln : (0, \infty) \to \R$\ln : (0, \infty) \to \R$
  • (!) Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen: Arkusfunktionen
• Stetigkeit der Umkehrfunktion: sei I$I$ ein Intervall und sei f : I \to \R$f : I \to \R$ streng monoton steigend; dann ist f^{-1}$f^{-1}$ streng monoton steigend und stetig (analog für streng monoton fallende Funktionen)
• REZEPT: Bestimmen der Umkehrfunktion:
  • löse f(x) = y$f(x) = y$ nach x$x$ auf, so dass x = g(y)$x = g(y)$
  • setze y = x$y = x$ und g = f^{-1}$g = f^{-1}$
• Eigenschaften der Exponentialfunktion:
  • \forall z \in \mathbb{C}: \exp(-z) = \frac1{\exp(z)}$\forall z \in \mathbb{C}: \exp(-z) = \frac1{\exp(z)}$
  • \forall z \in \mathbb{C}: \exp(z) \neq 0$\forall z \in \mathbb{C}: \exp(z) \neq 0$
  • \forall x,y \in \R: \exp(x)\exp(y) = \exp(x+y)$\forall x,y \in \R: \exp(x)\exp(y) = \exp(x+y)$
  • \forall x \in \R: \exp(x) > 0$\forall x \in \R: \exp(x) > 0$
  • \forall n \in \N: \exp(n) = e^n$\forall n \in \N: \exp(n) = e^n$
  • monoton wachsend, \forall z \in \mathbb{C}: |\exp(z)| \leq \exp(|z|)$\forall z \in \mathbb{C}: |\exp(z)| \leq \exp(|z|)$
  • (!) \forall x > 0, a \in \R: x^a = \exp(a \ln(x))$\forall x > 0, a \in \R: x^a = \exp(a \ln(x))$
• Eigenschaften der Logarithmusfunktion:
  • \forall x \in \R_{> 0}: \exp(\ln(x)) = x$\forall x \in \R_{> 0}: \exp(\ln(x)) = x$
  • \forall x \in \R: \ln(\exp(x)) = x$\forall x \in \R: \ln(\exp(x)) = x$
  • \forall x,y\in\R_{>0} : \ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)$\forall x,y\in\R_{>0} : \ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)$
  • \forall x \in \R_{>0}, r \in \mathbb{Q} : \ln(x^r) = r \ln(x)$\forall x \in \R_{>0}, r \in \mathbb{Q} : \ln(x^r) = r \ln(x)$
  • \forall x,y \in \R_{>0} : \ln(\frac x y) = \ln(x)-\ln(y)$\forall x,y \in \R_{>0} : \ln(\frac x y) = \ln(x)-\ln(y)$
  • \ln(1) = 0$\ln(1) = 0$
  • \ln(e) = 1$\ln(e) = 1$

Komplexe Zahlen (LinAlg)

• grundlegende Informationen und Beispiele hier
  
• komplexe Zahl: z \in \mathbb{C}, z = x + iy$z \in \mathbb{C}, z = x + iy$ mit x,y \in \R$x,y \in \R$
  • x = Re(z)$x = Re(z)$, y = Im(z)$y = Im(z)$
• Polarkoordinaten: z = r e^{i\varphi}$z = r e^{i\varphi}$
  • äquivalent: z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$
• konjugiert komplexe Zahl: \overline z = x - iy$\overline z = x - iy$
  • \overline{\overline z} = z$\overline{\overline z} = z$
  • \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$
  • \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$
• Norm: |z| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z \cdot \overline z}$|z| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z \cdot \overline z}$
• Addition / Subtraktion: z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2)$z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2)$
• Multiplikation:
  • (!) Polardarstellung - Längen multiplizieren, Winkel addieren: z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2(\cos( \varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2(\cos( \varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$
  • Koordinatendarstellung: z_1 \cdot z_2 = x_1x_2 - y_1y_2 + i(x_1y_2 + x_2y_1)$z_1 \cdot z_2 = x_1x_2 - y_1y_2 + i(x_1y_2 + x_2y_1)$
• i^1 = \sqrt{-1}, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$i^1 = \sqrt{-1}, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$
• Umformen:
  • Koordinatensystem zu Polardarstellung: r = \sqrt{x^2+y^2}, \varphi=\arccos(\frac xr)$r = \sqrt{x^2+y^2}, \varphi=\arccos(\frac xr)$ für y \geq 0$y \geq 0$ oder \varphi=-\arccos(\frac xr)$\varphi=-\arccos(\frac xr)$ für y < 0$y < 0$
  • Polardarstellung zu Koordinatensystem: x = r\cos\varphi, y=r\sin\varphi$x = r\cos\varphi, y=r\sin\varphi$

Trigonometrische Funktionen (sin, cos)

• \sin (x) = \frac1{2i}(e^{ix}-e^{-ix}) = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$\sin (x) = \frac1{2i}(e^{ix}-e^{-ix}) = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$
• \cos (x) = \frac12(e^{ix}+e^{-ix}) = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$\cos (x) = \frac12(e^{ix}+e^{-ix}) = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$
• Eulersche Formel: e^{ix}=\cos (x) + i \sin (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!}$e^{ix}=\cos (x) + i \sin (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!}$
• \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$
• \cot (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac1{\tan (x)}$\cot (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac1{\tan (x)}$
• Regeln / Formeln:
  • \sin (0) = 0$\sin (0) = 0$
  • \cos (0) = 1$\cos (0) = 1$
  • Symmetrie:
    • \sin(-x) = -\sin(x)$\sin(-x) = -\sin(x)$
    • \cos(-x) = \cos(x)$\cos(-x) = \cos(x)$
  • Verschiebung:
    • \sin(x+\frac\pi 2) = \cos(x)$\sin(x+\frac\pi 2) = \cos(x)$
    • \cos(x-\frac\pi 2) = \sin(x)$\cos(x-\frac\pi 2) = \sin(x)$
  • Trigonometrischer Pythagoras: \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ (wobei \sin^2(x) = (\sin (x))^2$\sin^2(x) = (\sin (x))^2$)
  • Additionstheoreme:
    • \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$
    • \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$
  • Winkelverdopplung:
    • \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
    • \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x)-1$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x)-1$
    • \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}2$\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}2$
    • \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}2$\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}2$
  • Eulersche Identität: e^{i\pi}=-1$e^{i\pi}=-1$
  • e^{i\frac\pi 2} = i$e^{i\frac\pi 2} = i$
  • e^{-ix}=\cos (x) - i \sin (x)$e^{-ix}=\cos (x) - i \sin (x)$
  • \lim_{x \to 0}\frac{\sin (x)}x = 1$\lim_{x \to 0}\frac{\sin (x)}x = 1$
  • \lim_{x \to 0}\frac{\cos (x) - 1}x = 0$\lim_{x \to 0}\frac{\cos (x) - 1}x = 0$

Landau-Notation, Differentiation

• Landau-Symbole / Big O Notation: Landau-Symbole beschreiben das asymptotische Verhalten von Funktionen und Folgen
  • f = O(g)$f = O(g)$: f$f$ wächst höchstens genauso schnell wie g$g$
    • f = O(g), x \to a < \infty \iff \exists C > 0 \; \exists \epsilon > 0 \; \forall x \in \{x : d(x,a) < \epsilon\} : |f(x)| \leq C \cdot |g(x)|$f = O(g), x \to a < \infty \iff \exists C > 0 \; \exists \epsilon > 0 \; \forall x \in \{x : d(x,a) < \epsilon\} : |f(x)| \leq C \cdot |g(x)|$
    • äquivalent: f = O(g) \iff \limsup_{x \to a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < \infty$f = O(g) \iff \limsup_{x \to a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < \infty$
  • f = o(g)$f = o(g)$: f$f$ wächst langsamer als g$g$
    • f = o(g), x \to a < \infty \iff \forall C > 0 \; \exists \epsilon > 0 \; \forall x \in \{x : d(x,a) < \epsilon\} : |f(x)| < C \cdot |g(x)|$f = o(g), x \to a < \infty \iff \forall C > 0 \; \exists \epsilon > 0 \; \forall x \in \{x : d(x,a) < \epsilon\} : |f(x)| < C \cdot |g(x)|$
    • äquivalent: f = o(g) \iff \lim_{x \to a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| = 0$f = o(g) \iff \lim_{x \to a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| = 0$
• innerer Punkt: jedes Element einer Teilmenge M \subseteq \R$M \subseteq \R$, zu dem sich eine Umgebung in \R$\R$ finden lässt, die vollständig in M$M$ liegt, ist ein innerer Punkt von M$M$
  
  • formal: x_0 \in M$x_0 \in M$ ist ein innerer Punkt von M$M$, falls \exists \epsilon > 0 : (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon) \subseteq M$\exists \epsilon > 0 : (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon) \subseteq M$
  • M \subseteq \R$M \subseteq \R$ ist offen, falls alle Punkte in M$M$ innere Punkte sind

Ableitung einer Funktion

• Ableitung: die Ableitung von f : D \to \R$f : D \to \R$ im Punkt x_0 \in D$x_0 \in D$ ist eine Linearisierung der Funktion f$f$ in einer Umgebung von x_0$x_0$
• Differenzierbarkeit: eine Funktion f : D \to \R$f : D \to \R$ heißt differenzierbar in x_0 \in D$x_0 \in D$, falls der Grenzwert \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ mit h=x-x_0$h=x-x_0$ existiert
  • f: D \to \R$f: D \to \R$ heißt differenzierbar in D$D$, falls für jedes x \in D$x \in D$ die Funktion f$f$ differenzierbar in x$x$ ist
• Tangente, Steigung der Tangente: die Ableitung von f$f$ in x_0$x_0$ entspricht der Steigung der Tangente von f$f$ in x_0$x_0$
  
  • Tangentengleichung: y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)$y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)$
  • Steigung der Tangente von f$f$ in x_0$x_0$: \tan \alpha = f'(x_0)$\tan \alpha = f'(x_0)$
• Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit: ist f : D \to \R$f : D \to \R$ differenzierbar in x_0 \in D$x_0 \in D$, dann ist f$f$ stetig in x_0$x_0$ (aber nicht umgekehrt, siehe bsp. f(x) = |x|$f(x) = |x|$ in x_0 = 0$x_0 = 0$)
• linksseitige / rechtsseitige Ableitung: die linksseitige / rechtsseitige Ableitung ist die Steigung der Tangente an einem Punkt x_0$x_0$ "von links / rechts an betrachtet"
  • linksseitig: f'_-(x_0) = \lim_{h\to 0, h < 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$f'_-(x_0) = \lim_{h\to 0, h < 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, falls dieser existiert
  • rechtsseitig: f'_+(x_0) = \lim_{h\to 0, h > 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$f'_+(x_0) = \lim_{h\to 0, h > 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, falls dieser existiert
  • Beispiel: f(x) = |x|, f'_+(0) = 1, f'_-(0) = -1$f(x) = |x|, f'_+(0) = 1, f'_-(0) = -1$
• Wichtige Ableitungen:
  • f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x$f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x$
  • f(x) = \ln(x) \implies f'(x) = \frac 1 x$f(x) = \ln(x) \implies f'(x) = \frac 1 x$
  • f(x)=a^x = e^{x\ln(a)}, a > 0 \implies f'(x) = a^x\ln(a)$f(x)=a^x = e^{x\ln(a)}, a > 0 \implies f'(x) = a^x\ln(a)$
  • f(x) = \sin(x) \implies f'(x) = \cos(x)$f(x) = \sin(x) \implies f'(x) = \cos(x)$
  • f(x) = \cos(x) \implies f'(x) = -\sin(x)$f(x) = \cos(x) \implies f'(x) = -\sin(x)$

Ableitungsregeln

• Konstante: f(x) = c \implies f'(x) = 0$f(x) = c \implies f'(x) = 0$
  • Beispiel: f(x) = 5 \implies f'(x) = 0$f(x) = 5 \implies f'(x) = 0$
• Potenzregel: f(x) = x^n \implies f'(x) = nx^{n-1}$f(x) = x^n \implies f'(x) = nx^{n-1}$
  • Beispiel: f(x)=x^3 \implies f'(x) = 3x^2$f(x)=x^3 \implies f'(x) = 3x^2$
  • Differentiation von Polynomen: p(x) = \sum_{k=0}^na_kx^k \implies p'(x) = \sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$p(x) = \sum_{k=0}^na_kx^k \implies p'(x) = \sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$
    • Beispiel: f(x) = 3x^2 + 2x + 5 \implies f'(x) = 6x + 2$f(x) = 3x^2 + 2x + 5 \implies f'(x) = 6x + 2$
• Faktorregel: f(x) = cx^n \implies f'(x) = ncx^{n-1}$f(x) = cx^n \implies f'(x) = ncx^{n-1}$
  • Beispiel: f(x) = 2x^3 \implies f'(x) = 6x^2$f(x) = 2x^3 \implies f'(x) = 6x^2$
• Summenregel / Differenzregel: f(x) = g(x) \pm h(x) \implies f'(x) = g'(x) \pm h'(x)$f(x) = g(x) \pm h(x) \implies f'(x) = g'(x) \pm h'(x)$
  • Beispiel: f(x) = x^3 + x \implies f'(x) = 3x^2+1$f(x) = x^3 + x \implies f'(x) = 3x^2+1$
• Produktregel: (f \cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$(f \cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
  • Beispiel: f(x) = x^3 \cdot x^5 \implies f'(x) = 3x^2 \cdot x^5 + x^3 \cdot 5x^4 = 8x^7$f(x) = x^3 \cdot x^5 \implies f'(x) = 3x^2 \cdot x^5 + x^3 \cdot 5x^4 = 8x^7$
• Quotientenregel: \left(\frac fg\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$\left(\frac fg\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$
  • Beispiel: f(x) = \frac{\sin(x)}{e^x} \implies f'(x) = \frac{\cos(x)e^x-\sin(x)e^x}{e^{2x}} = \frac{\cos(x)-\sin(x)}{e^x}$f(x) = \frac{\sin(x)}{e^x} \implies f'(x) = \frac{\cos(x)e^x-\sin(x)e^x}{e^{2x}} = \frac{\cos(x)-\sin(x)}{e^x}$
• Kettenregel: (f \circ g)'(x) = [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$(f \circ g)'(x) = [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
  • Beispiel: f(x) = (x^3+1)^2 \implies f'(x) = 2(x^3+1) \cdot 3x^2$f(x) = (x^3+1)^2 \implies f'(x) = 2(x^3+1) \cdot 3x^2$
• Ableitung von Umkehrfunktionen: (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
  • Beispiel: \ln'(x) = \frac{1}{\exp(\ln(x))} = \frac1x$\ln'(x) = \frac{1}{\exp(\ln(x))} = \frac1x$

Differentiation von Reihen

• Funktionenfolge: eine Funktionenfolge ist eine Folge, deren einzelne Glieder Funktionen sind
  
• punktweise Konvergenz: eine Funktionsfolge (f_n)_{n \in \N}$(f_n)_{n \in \N}$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion f$f$, wenn für alle Stellen x$x$ aus dem gemeinsamen Definitionsbereich die Folge (f_n(x))_{n\in\N}$(f_n(x))_{n\in\N}$ gegen f(x)$f(x)$ konvergiert
  
  • formal: \forall \epsilon > 0 \; \forall x \in D \; \exists N \in \N \; \forall n \geq N: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$\forall \epsilon > 0 \; \forall x \in D \; \exists N \in \N \; \forall n \geq N: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$
  • (!) (f_n)_{n \in \N}$(f_n)_{n \in \N}$ konvergiert punktweise gegen f$f$, falls \lim_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)$\lim_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)$
  • Beispiel: f_n:x \mapsto x^n$f_n:x \mapsto x^n$ konvergiert in [0,1]$[0,1]$ punktweise gegen f(x) = \begin{cases}0 &\text{falls } 0 \leq x < 1 \\ 1 &\text{falls } x = 1\end{cases}$f(x) = \begin{cases}0 &\text{falls } 0 \leq x < 1 \\ 1 &\text{falls } x = 1\end{cases}$
    • \forall x \in [0,1) : \lim_{n \to \infty}x^n=0$\forall x \in [0,1) : \lim_{n \to \infty}x^n=0$
    • \lim_{n\to\infty}1^n = 1$\lim_{n\to\infty}1^n = 1$
• gleichmäßige Konvergenz: punktweise Konvergenz + alle Funktionen f_n$f_n$ befinden sich in einem beliebig schameln \epsilon$\epsilon$-Schlauch um f$f$
  
  • formal: \forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \N \; \forall x \in D \; \forall n \geq N: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$\forall \epsilon > 0 \; \exists N \in \N \; \forall x \in D \; \forall n \geq N: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$
  • (!) (f_n)_{n \in \N}$(f_n)_{n \in \N}$ konvergiert gleichmäßig gegen f$f$, falls \lim_{n \to \infty}\sup\{|f_n(x) - f(x) \; | \; x \in D\} = 0$\lim_{n \to \infty}\sup\{|f_n(x) - f(x) \; | \; x \in D\} = 0$
  • (!) gleichmäßige Konvergenz gegen f$f$ impliziert punktweise Konvergenz gegen f$f$
  • falls f_n$f_n$ noch für alle n$n$ auf \R$\R$ integrierbar ist, ist f$f$ integrierbar und \lim_{n \to \infty}\int_a^bf_n(x)dx = \int_a^bf(x)dx$\lim_{n \to \infty}\int_a^bf_n(x)dx = \int_a^bf(x)dx$
• Weierstraßsches Majorantenkriterium (Weierstraßscher M-Test): falls |f_n(x)| \leq M_n$|f_n(x)| \leq M_n$ gilt und die Reihe \sum_{n=1}^\infty M_n$\sum_{n=1}^\infty M_n$ konvergiert, dann konvergiert \sum_{n=1}^\infty f_n(x)$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ absolut und gleichmäßig
  • Beispiel: |f_n(x)| \leq n^{-2}, \; f_n:[0,1] \to \R, \; x \in (0,1)$|f_n(x)| \leq n^{-2}, \; f_n:[0,1] \to \R, \; x \in (0,1)$
    • \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$ konvergiert, d.h. \sum_{n=0}^\infty f_n(x)$\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ konvergiert absolut und gleichmäßig
• Satz für punktweise konvergente Funktionsreihen: konvergiert die aus einer Funktionenfolge gebildete Reihe f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n(x)$f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n(x)$, ist die Reihe punktweise konvergent gegen die Grenzfunktion f$f$
• Satz für Differenzierbarkeit von Funktionsreihen: sind für f_k : D \to \R$f_k : D \to \R$ die Reihen \sum_{k=0}^\infty f_k(x)$\sum_{k=0}^\infty f_k(x)$ punktweise und \sum_{k=0}^\infty f'_k(x)$\sum_{k=0}^\infty f'_k(x)$ gleichmäßig konvergent, so ist f$f$ in D$D$ differenzierbar mit f'(x) = \sum_{k=0}^\infty f'_k(x)$f'(x) = \sum_{k=0}^\infty f'_k(x)$

Anwendungen der Ableitung

• Satz von Rolle: auf dem Graphen der Funktion f$f$ gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden Funktionswerten mindestens eine Stelle, an der die Steigung gleich null ist
  

  • formal: seien a < b$a < b$ und f: [a,b] \to \R$f: [a,b] \to \R$ eine stetige Funktion, die in (a,b)$(a,b)$ differenzierbar ist; wenn f(a) = f(b)$f(a) = f(b)$, so gibt es eine Stelle x_0 \in (a,b)$x_0 \in (a,b)$ mit f'(x_0) = 0$f'(x_0) = 0$
  • Beweis:
    • Fall 1: f$f$ konstant (trivial)
      • ist f$f$ konstant, gilt f'(x) = 0$f'(x) = 0$ für alle x \in (a,b)$x \in (a,b)$
    • Fall 2: f$f$ nicht konstant
      • laut Satz von Maximum und Minimum nimmt f$f$ in [a,b]$[a,b]$ sowohl Maximum, als auch Minimum an
      • das Maximum / Minimum muss von f(a)=f(b)$f(a)=f(b)$ verschieden sein, sonst wäre f$f$ konstant \Rightarrow$\Rightarrow$ es existiert mind. ein Extremum an einer beliebigen Stelle x_0 \in (a,b)$x_0 \in (a,b)$ (1)
      • f$f$ ist auf (a,b)$(a,b)$ differenzierbar \implies f$\implies f$ ist in x_0$x_0$ differenzierbar
      • notwendiges Kriterium für Extrema \implies f'(x_0) = 0$\implies f'(x_0) = 0$ (2)
      • (1), (2) \implies \exists x_0 \in (a,b) : f'(x_0)=0$\implies \exists x_0 \in (a,b) : f'(x_0)=0$, QED

• Mittelwertsatz: die Sekantensteigung tretet an mindestens einer Stelle zwischen a$a$ und b$b$ als Steigung der Tangente am Funktionsgraph auf
  

  • formal: seien a<b$a<b$ und f:[a,b]\to\R$f:[a,b]\to\R$ eine stetige Funktion, die in (a,b)$(a,b)$ differenzierbar ist, dann existiert mindestens ein x_0 \in (a,b)$x_0 \in (a,b)$, so dass f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
  • Beweis:
    • Idee: suche geeignete Hilfsfunktion
    • sei H : [a,b] \to \R$H : [a,b] \to \R$ eine Hilfsfunktion, definiert als H(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$H(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
    • f$f$ ist auf [a,b]$[a,b]$ stetig und auf (a,b)$(a,b)$ differenzierbar (1)
    • H$H$ ist eine Komposition aus f$f$ und \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ (2)
    • (1), (2) \implies H$\implies H$ ist auf [a,b]$[a,b]$ stetig und auf (a,b)$(a,b)$ differenzierbar
    • H(a) = f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) \\= f(a) \\= f(b) - (f(b)-f(a)) \\= f(b) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) = H(b)$H(a) = f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) \\= f(a) \\= f(b) - (f(b)-f(a)) \\= f(b) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) = H(b)$ (3)
    • (1), (2), (3) \implies$\implies$ laut Satz von Rolle existiert ein x_0 \in (a,b)$x_0 \in (a,b)$ mit H'(x_0) = 0$H'(x_0) = 0$
    • H'(x_0) = f'(x_0) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \\\implies f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$H'(x_0) = f'(x_0) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \\\implies f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, QED

• Monotoniekriterium: für eine in (a,b)$(a,b)$ differenzierbare Funktion f:[a,b] \to \R$f:[a,b] \to \R$ (stetig) gilt...

  • f' \geq 0$f' \geq 0$ auf (a,b) \iff f$(a,b) \iff f$ monoton steigend auf [a,b]$[a,b]$
  • f' \leq 0$f' \leq 0$ auf (a,b) \iff f$(a,b) \iff f$ monoton fallend auf [a,b]$[a,b]$
  • f' > 0$f' > 0$ auf (a,b) \implies f$(a,b) \implies f$ streng monoton steigend auf [a,b]$[a,b]$
  • f' < 0$f' < 0$ auf (a,b) \implies f$(a,b) \implies f$ streng monoton fallend auf [a,b]$[a,b]$

Grenzwertbestimmung mit L'Hôpital

• Regel von de L'Hospital: existiert \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, so ist \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
  • Anwendungsfälle: unbestimmte Ausdrücke (\frac 00, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, \frac\infty\infty, 0^0, \infty^0, 1^\infty...$\frac 00, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, \frac\infty\infty, 0^0, \infty^0, 1^\infty...$)
  • Beweis (Sonderfall)
    • seien f,g$f,g$ stetig differenzierbar in x_0$x_0$ mit f(x_0)=g(x_0)=0$f(x_0)=g(x_0)=0$ und g'(x_0) \neq 0$g'(x_0) \neq 0$, dann...
    • \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-0}{g(x)-0} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} \\ =\lim_{x \to x_0}\frac{\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)} = \frac{\lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)}{\lim_{x \to x_0}\left(\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)} = \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-0}{g(x)-0} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} \\ =\lim_{x \to x_0}\frac{\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)}{\left(\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)} = \frac{\lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)}{\lim_{x \to x_0}\left(\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)} = \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
  • TIPP: man kann Funktionen der Form h(x) = f(x)g(x)$h(x) = f(x)g(x)$ evtl. auf h(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$h(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$ umformen, um L'Hôpital anzuwenden (siehe Bsp. 3)
  • Beispiel 1: \lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)-1}{\tan(x)}$\lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)-1}{\tan(x)}$
    • setze f(x) = \cos(x)-1$f(x) = \cos(x)-1$ und g(x)=\tan(x)$g(x)=\tan(x)$
    • \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to 0}f(x)}{\lim_{x \to 0}g(x)} = \frac 00$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to 0}f(x)}{\lim_{x \to 0}g(x)} = \frac 00$ ↯
    • \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{-\sin(x)}{\frac1{\cos^2(x)}} = \lim_{x \to 0}-\sin(x)\cos^2(x) = 0$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{-\sin(x)}{\frac1{\cos^2(x)}} = \lim_{x \to 0}-\sin(x)\cos^2(x) = 0$
  • Beispiel 2: \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt x}{\ln(x)}$\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt x}{\ln(x)}$
    • setze f(x) = \sqrt x$f(x) = \sqrt x$ und g(x) = \ln(x)$g(x) = \ln(x)$
    • \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty}f(x)}{\lim_{x \to \infty}g(x)} = \frac\infty\infty$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty}f(x)}{\lim_{x \to \infty}g(x)} = \frac\infty\infty$ ↯
    • \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac1{2\sqrt x}}{\frac1x} = \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt x}{2} = \infty$\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac1{2\sqrt x}}{\frac1x} = \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt x}{2} = \infty$
  • Beispiel 3: \lim_{x\to0}x\ln(x)$\lim_{x\to0}x\ln(x)$
    • umformen: \lim_{x\to0}x\ln(x) = \lim_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\frac1x}$\lim_{x\to0}x\ln(x) = \lim_{x\to0}\frac{\ln(x)}{\frac1x}$
    • setze f(x) = \ln(x)$f(x) = \ln(x)$ und g(x) = \frac1x$g(x) = \frac1x$
    • \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to0}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}} = \lim_{x\to0}(-x) = 0$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to0}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}} = \lim_{x\to0}(-x) = 0$

Konvexität und die Jensensche Ungleichung

• Begriffe:
  • f$f$ ist zweimal differenzierbar \iff$\iff$ f$f$ differenzierbar, f'$f'$ differenzierbar
  • f$f$ ist stetig differenzierbar \iff$\iff$ f$f$ differenzierbar, f'$f'$ stetig
  • f$f$ ist zweimal stetig differenzierbar \iff$\iff$ f$f$ zweimal differenzierbar, f''$f''$ stetig
• konvexe und konkave Funktionen:
  • konvex: eine reelwertige Funktion heißt konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt
    
    • formal: eine Funktion f:C \to R$f:C \to R$, wobei C \subseteq \R^n$C \subseteq \R^n$ eine konvexe Teilmenge von \R^n$\R^n$ ist, heißt konvex, wenn für alle x,y \in C$x,y \in C$ und für alle \lambda \in [0,1]$\lambda \in [0,1]$ gilt: f(\lambda x +(1- \lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1- \lambda)f(y)$f(\lambda x +(1- \lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1- \lambda)f(y)$
    • f$f$ ist konvex, falls -f$-f$ konkav ist
    • Satz: ist f:(a,b) \in \R$f:(a,b) \in \R$ zweimal differenzierbar mit nicht-negativer zweiter Ableitung, so ist f$f$ konvex
    • Beispiele: \exp(x), x^4...$\exp(x), x^4...$
  • konkav: eine reelwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt
    
    • formal: eine Funktion f:C \to R$f:C \to R$, wobei C \subseteq \R^n$C \subseteq \R^n$ eine konkave Teilmenge von \R^n$\R^n$ ist, heißt konkav, wenn für alle x,y \in C$x,y \in C$ und für alle \lambda \in [0,1]$\lambda \in [0,1]$ gilt: f(\lambda x +(1- \lambda)y) \geq \lambda f(x) + (1- \lambda)f(y)$f(\lambda x +(1- \lambda)y) \geq \lambda f(x) + (1- \lambda)f(y)$
    • f$f$ ist konkav, falls -f$-f$ konvex ist
    • Beispiele: \ln(x), -x^2...$\ln(x), -x^2...$
  • ist die jeweilige Ungleichung strikt, so heißt f$f$ streng konvex bzw. streng konkav
• Kriterium für Konvexität bzw. Konkavität: ist f:[a,b] \to \R$f:[a,b] \to \R$ zweimal stetig differenzierbar, gilt...
  • f$f$ konvex auf [a,b] \iff f''(x) \geq 0 \; \forall x \in [a,b]$[a,b] \iff f''(x) \geq 0 \; \forall x \in [a,b]$
  • f$f$ konkav auf [a,b] \iff f''(x) \leq 0 \; \forall x \in [a,b]$[a,b] \iff f''(x) \leq 0 \; \forall x \in [a,b]$
  • strikt konvex bzw. strikt konkav, wenn die Ungleichungen strikt sind
• Jensensche Ungleichung: für eine konvexe Funktion f$f$ und nichtnegative \lambda_i$\lambda_i$ mit \sum_{i=1}^n\lambda_i = 1$\sum_{i=1}^n\lambda_i = 1$ gilt f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right) \leq \sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i)$f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right) \leq \sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i)$
  • für konkave Funktionen geht die Ungleichung in die umgekehrte Richtung
  • Beweis hier (siehe Induktion)

Das Integral

• Integralrechnung: die Integralrechnung bestimmt anschaulich Flächeninhalte, die durch gekrümmte Linien (e.g. Funktionen oberhalb der x$x$-Achse) in einem Intervall [a,b]$[a,b]$ begrenzt sind
  • Schreibweise: \int_a^bf(x)dx$\int_a^bf(x)dx$
    
• konstante Funktionen: f(x) = c$f(x) = c$
  • Integral einer konstanten Funktion: \int_a^bf(x)dx=(b-a)\cdot c$\int_a^bf(x)dx=(b-a)\cdot c$ (Flächeninhalt des Rechtecks unter / über dem Graphen)
    • c > 0$c > 0$: Ergebnis positiv
    • c < 0$c < 0$: Ergebnis negativ
      
• Treppenfunktionen: eine Treppenfunktion nimmt nur endlich viele Funktionswerte an und ist stückweise konstant, f(x) = c_i$f(x) = c_i$ falls x \in (x_{i-1},x_i)$x \in (x_{i-1},x_i)$
  • formal: f : [a,b] \to \R$f : [a,b] \to \R$ heißt Treppenfunktion, wenn \exists t_0, t_1,...,t_n : a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b$\exists t_0, t_1,...,t_n : a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b$ und \exists c_1, ..., c_n \; \forall x \in (t_{i-1},t_i), i = 1,...,n:f(x)=c_i$\exists c_1, ..., c_n \; \forall x \in (t_{i-1},t_i), i = 1,...,n:f(x)=c_i$ (Funktionswerte an den Stützstellen sind beliebig, aber reell)
  • Integral einer Treppenfunktion: \int_a^b f(x)dx = \sum_{i=1}^nc_i(x_i-x_{i-1})$\int_a^b f(x)dx = \sum_{i=1}^nc_i(x_i-x_{i-1})$ mit c_i \in (x_{i-1}, x_i)$c_i \in (x_{i-1}, x_i)$
  • Beispiel:
    • f(x) = \begin{cases}1 & \text{wenn }1 \leq x \leq 3\\ 2 & \text{wenn } 3 < x \leq 4 \\ -1 & \text{wenn }4 < x \leq 5 \end{cases}$f(x) = \begin{cases}1 & \text{wenn }1 \leq x \leq 3\\ 2 & \text{wenn } 3 < x \leq 4 \\ -1 & \text{wenn }4 < x \leq 5 \end{cases}$
    • \int_1^5f(x)dx = 1(3-1)+2(4-3)+(-1)(5-4)=3$\int_1^5f(x)dx = 1(3-1)+2(4-3)+(-1)(5-4)=3$
      

Allgemeine beschränkte Funktionen, Riemann- und Darbouxintegral

• riemannsches Integral (Unter- / Obersumme): approximiere f$f$ durch Treppenfunktionen, dann berechne das Integral durch Rechtecksummen
  • Idee:
    • zerlege das Integrationsintervall in kleine Stücke und den gesuchten Flächeninhalt in senkrechte Streifen
    • die Untersumme besteht aus der Summe der größten Rechtecke ausgehend von der x$x$-Achse, die den Graphen nicht schneiden
    • die Obersumme besteht aus der Summe der kleinsten Rechtecke ausgehend von der x$x$-Achse, die im Intervall den ganzen Graphen umfassen
      
  • formal:
    • sei Z = x_0, x_1, ..., x_n$Z = x_0, x_1, ..., x_n$ mit a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b$a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b$ eine Zerlegung von [a,b]$[a,b]$ in n$n$ Teile
    • Untersumme: U(Z) = U_Z(f) = \sum_{k=1}^n\left((x_k - x_{k-1}) \cdot \inf_{x_{k-1} < x < x_k}f(x)\right)$U(Z) = U_Z(f) = \sum_{k=1}^n\left((x_k - x_{k-1}) \cdot \inf_{x_{k-1} < x < x_k}f(x)\right)$
    • Obersumme: O(Z) = O_Z(f) = \sum_{k=1}^n\left((x_k - x_{k-1}) \cdot \sup_{x_{k-1} < x < x_k}f(x)\right)$O(Z) = O_Z(f) = \sum_{k=1}^n\left((x_k - x_{k-1}) \cdot \sup_{x_{k-1} < x < x_k}f(x)\right)$
  • (!) es gilt stets U_Z(f) \leq O_Z(f)$U_Z(f) \leq O_Z(f)$, man betrachtet den Fehler als O_Z(f) - U_Z(f)$O_Z(f) - U_Z(f)$
  • je feiner die Zerlegung, desto genauer wird das Ergebnis (U_Z(f) \leq U_{Z'}(f) \leq O_{Z'}(f) \leq O_Z(f)$U_Z(f) \leq U_{Z'}(f) \leq O_{Z'}(f) \leq O_Z(f)$)
    
• Darboux-Integral (Unter- / Oberintegral): das Darboux-Integral von f$f$ entspricht einer "unendlich feinen" Zerlegung (Infimum der Obersummen / Supremum der Untersummen)
  • Unterintegral: U(f) = \sup\{U_Z(f): \text{Z ist Zerlegung von [a,b]}\}$U(f) = \sup\{U_Z(f): \text{Z ist Zerlegung von [a,b]}\}$ (Untersumme wächst)
  • Oberintegral: O(f) = \inf\{O_Z(f): \text{Z ist Zerlegung von [a,b]}\}$O(f) = \inf\{O_Z(f): \text{Z ist Zerlegung von [a,b]}\}$ (Obersumme senkt)
  • (!) es gilt stets U(f) \leq O(f)$U(f) \leq O(f)$
  • (!) f$f$ heißt integrierbar, falls U(f) = O(f)$U(f) = O(f)$ mit \int_a^bf(x)dx=U(f)=O(f)$\int_a^bf(x)dx=U(f)=O(f)$
  • ist f$f$ integrierbar und (Z^n)$(Z^n)$ eine Folge von Zerlegungen, dessen Fehler beim genaueren Approximieren gegen 0 strebt, gilt \int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty}U_{Z^n}(f) = \lim_{n \to \infty}O_{Z^n}(f)$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty}U_{Z^n}(f) = \lim_{n \to \infty}O_{Z^n}(f)$
• Riemannsches Kriterium: eine beschränkte Funktion f$f$ ist genau dann integrierbar, wenn es für jedes \epsilon > 0$\epsilon > 0$ eine Zerlegung Z$Z$ von [a,b]$[a,b]$ mit O_Z(f) - U_Z(f) < \epsilon$O_Z(f) - U_Z(f) < \epsilon$ gibt
  • formal: f$f$ integrierbar \iff \forall \epsilon > 0 \; \exists Z \in Z[a,b]: O_Z(f) - U_Z(f) < \epsilon$\iff \forall \epsilon > 0 \; \exists Z \in Z[a,b]: O_Z(f) - U_Z(f) < \epsilon$
  • Beweis:
    • \impliedby$\impliedby$ (O_Z(f) - U_Z(f) < \epsilon$O_Z(f) - U_Z(f) < \epsilon$)
      • U_Z(f) \leq O_Z(f)$U_Z(f) \leq O_Z(f)$ gilt stets, siehe oben (1)
      • U_Z(f) \leq U(f)$U_Z(f) \leq U(f)$, da U_Z(f)$U_Z(f)$ für n \to \infty$n \to \infty$ stets größer wird (2)
      • O(f) \leq O_Z(f)$O(f) \leq O_Z(f)$, da O_Z(f)$O_Z(f)$ für n \to \infty$n \to \infty$ stets kleiner wird (3)
      • U(f) \leq O(f)$U(f) \leq O(f)$ gilt stets, siehe oben (4)
      • (1), (2), (3), (4) \implies U_Z(f) \leq U(f) \leq O(f) \leq O_Z(f)$\implies U_Z(f) \leq U(f) \leq O(f) \leq O_Z(f)$ (5)
      • (5) \implies O(f)-U(f) \leq O_Z(f) - U_Z(f)$\implies O(f)-U(f) \leq O_Z(f) - U_Z(f)$ (Fehler offensichtlich kleiner)
      • O_Z(f) - U_Z(f) < \epsilon$O_Z(f) - U_Z(f) < \epsilon$ (laut Voraussetzung) \implies O(f) = U(f)$\implies O(f) = U(f)$ (da \epsilon$\epsilon$ beliebig (klein) ist)
    • \implies$\implies$ (f$f$ integrierbar)
      • f$f$ integrierbar \implies O(f) = U(f)$\implies O(f) = U(f)$ (laut Definition)
      • \exists Z_1, Z_2$\exists Z_1, Z_2$, so dass...
        • U_{Z_1}(f) > U(f) - \frac \epsilon 2 = O(f) - \frac \epsilon 2$U_{Z_1}(f) > U(f) - \frac \epsilon 2 = O(f) - \frac \epsilon 2$
        • O_{Z_2}(f) < O(f) + \frac \epsilon 2 = U(f) + \frac \epsilon 2$O_{Z_2}(f) < O(f) + \frac \epsilon 2 = U(f) + \frac \epsilon 2$
      • sei Z = Z_1 \cup Z_2$Z = Z_1 \cup Z_2$ eine gemeinsame Verfeinerung, dann...
        • U_Z(f) > U_{Z_1}(f) > O(f) - \frac \epsilon 2$U_Z(f) > U_{Z_1}(f) > O(f) - \frac \epsilon 2$ (Untersumme offensichtlich größer)
        • O_Z(f) < O_{Z_2}(f) < O(f) + \frac \epsilon 2$O_Z(f) < O_{Z_2}(f) < O(f) + \frac \epsilon 2$ (Obersumme offensichtlich kleiner)
      • O_Z(f) - U_Z(f) < (O(f) + \frac \epsilon 2) - (O(f) - \frac \epsilon 2) = \epsilon$O_Z(f) - U_Z(f) < (O(f) + \frac \epsilon 2) - (O(f) - \frac \epsilon 2) = \epsilon$
• gleichmäßige Stetigkeit: für eine gleichmäßig stetige Funktion f$f$ muss gelten, dass der Abstand beliebiger Paare von Funktionswerten kleiner als ein beliebig vorgegebener Maximalfehler \epsilon$\epsilon$ ist, solange die Argumente hinreichend nah beieinanderliegen (\delta$\delta$).
  • anschaulich: sei ein Rechteck mit Höhe 2\epsilon$2\epsilon$ und Breite 2\delta$2\delta$ um einen Punkt; der Graph muss komplett im Inneren, aber nie direkt ober- oder unterhalb des Rechtecks verlaufen
  • formal: \forall \epsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x, x_0 \in D : |x - x_0| < \delta \implies |f(x)-f(x_0)| < \epsilon$\forall \epsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x, x_0 \in D : |x - x_0| < \delta \implies |f(x)-f(x_0)| < \epsilon$
• Satz für Integrierbarkeit von beschränkten, stetigen Funktionen: jede beschränkte stetige Funktion f : [a,b] \to \R$f : [a,b] \to \R$ ist integrierbar
• Satz für Integrierbarkeit von beschränkten, monotonen Funktionen: jede beschränkte monotone Funktion f : [a,b] \to \R$f : [a,b] \to \R$ ist integrierbar
• Eigenschaften des Integrals: seien f,g$f,g$ integrierbare Funktionen und \lambda \in \R$\lambda \in \R$, dann...
  • Linearität (1): \int_a^b(f(x)+g(x))dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^bg(x)dx$\int_a^b(f(x)+g(x))dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^bg(x)dx$
  • Linearität (2): \int_a^b\lambda f(x)dx = \lambda \int_a^b f(x)dx$\int_a^b\lambda f(x)dx = \lambda \int_a^b f(x)dx$
  • Monotonie: \forall x \in [a,b] : f(x) \leq g(x) \implies \int_a^bf(x)dx \leq \int_a^bg(x)dx$\forall x \in [a,b] : f(x) \leq g(x) \implies \int_a^bf(x)dx \leq \int_a^bg(x)dx$
  • Zerlegbarkeit (1): a < c < b \implies \int_a^bf(x)dx = \int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$a < c < b \implies \int_a^bf(x)dx = \int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$
  • Zerlegbarkeit (2): a \leq b \implies \int_b^af(x)dx = -\int_a^bf(x)dx$a \leq b \implies \int_b^af(x)dx = -\int_a^bf(x)dx$
    • damit gilt die Zerlegbarkeit \int_a^cf(x)dx = \int_a^bf(x)dx + \int_b^cf(x)dx$\int_a^cf(x)dx = \int_a^bf(x)dx + \int_b^cf(x)dx$ für alle a,b,c\in\R$a,b,c\in\R$
  • Integral im selben Punkt: \int_a^af(x)dx = 0$\int_a^af(x)dx = 0$
• Mittelwertsatz der Integralrechnung: bei einer stetigen Funktion f : [a,b] \to \R$f : [a,b] \to \R$ liegt der Durchschnittswert im Bereich der Werte, welche die Funktion annimmt
  • genauer: es gibt ein \xi$\xi$, so dass f(\xi)$f(\xi)$ gleich dem durchschnittlichen Funktionswert von f$f$ ist
    
  • formal: falls f:[a,b]\to\R$f:[a,b]\to\R$ eine stetige Funktion ist, gibt es ein \xi \in [a,b]$\xi \in [a,b]$, so dass f(\xi)(b-a) = \int_a^bf(x)dx$f(\xi)(b-a) = \int_a^bf(x)dx$
• Fundamentalsatz der Analysis / Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung: Ableiten bzw. Integrieren ist jeweils die Umkehrung des anderen
  • erster Teil (Existenz von Stammfunktionen, Zusammenhang von Ableitung und Integral): ist f: I \to \R$f: I \to \R$ eine reelwertige stetige Funktion auf einem reellen Intervall I$I$, so ist für jedes c \in I$c \in I$ (c$c$ beliebig) die Integralfunktion F : I \to \R, F(x) = \int_c^xf(t)dt$F : I \to \R, F(x) = \int_c^xf(t)dt$ differenzierbar und eine Stammfunktion (bis auf eine additive Konstante eindeutig) von f$f$, d.h. für alle x\in I$x\in I$ gilt F'(x) = f(x)$F'(x) = f(x)$
    • Beweis:
      • zu zeigen: \exists F'(x) \equiv \exists \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}h$\exists F'(x) \equiv \exists \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}h$ und F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}h = f(x)$F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}h = f(x)$
      • sei x \in I$x \in I$ beliebig, aber fest, und h > 0$h > 0$ (klein genug), so dass x + h \in I$x + h \in I$, dann...
      • \frac{F(x+h)-F(x)}h = \frac 1 h (F(x+h)-F(x)) \\= \frac 1h(\int_c^{x+h}f(t)dt - \int_c^xf(t)dt)\\=\frac 1 h\int_x^{x+h}f(t)dt$\frac{F(x+h)-F(x)}h = \frac 1 h (F(x+h)-F(x)) \\= \frac 1h(\int_c^{x+h}f(t)dt - \int_c^xf(t)dt)\\=\frac 1 h\int_x^{x+h}f(t)dt$
      • laut Mittelwertsatz existiert \xi_h \in (x, x+h)$\xi_h \in (x, x+h)$, so dass...
      • f(\xi_h)(x+h-x)=\int_x^{x+h}f(t)dt\\ \Rightarrow hf(\xi_h)=\int_x^{x+h}f(t)dt \\ \Rightarrow f(\xi_h) = \frac 1 h \int_x^{x+h}f(t)dt$f(\xi_h)(x+h-x)=\int_x^{x+h}f(t)dt\\ \Rightarrow hf(\xi_h)=\int_x^{x+h}f(t)dt \\ \Rightarrow f(\xi_h) = \frac 1 h \int_x^{x+h}f(t)dt$
      • für h \to 0$h \to 0$ gilt \xi_h \to x$\xi_h \to x$ (1)
      • f$f$ ist stetig (laut Voraussetzung) (2)
      • (1), (2) \implies \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}h = \lim_{h \to 0}f(\xi_h) = f(x) \implies F'(x) = f(x)$\implies \lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}h = \lim_{h \to 0}f(\xi_h) = f(x) \implies F'(x) = f(x)$
  • zweiter Teil (Berechnung eines Integrals): ist f: [a,b] \to \R$f: [a,b] \to \R$ eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b]$[a,b]$ mit Stammfunktion F:[a,b] \to \R$F:[a,b] \to \R$, dann gilt \int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)$\int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)$
    • Schreibweise: \int_a^bf(x)dx = \left[F(x)\right]_a^b$\int_a^bf(x)dx = \left[F(x)\right]_a^b$
    • Beweis:
      • sei f:[a,b]\to\R$f:[a,b]\to\R$ stetig auf [a,b]$[a,b]$
      • setze für F(x) = \int_c^xf(t)dt$F(x) = \int_c^xf(t)dt$ (laut Definition) c = a$c = a$, so dass F(a) = 0$F(a) = 0$ und F(b)=\int_a^bf(x)dx$F(b)=\int_a^bf(x)dx$
      • damit gilt \int_a^bf(t)dt = F(b)-F(a)$\int_a^bf(t)dt = F(b)-F(a)$ für diese (!) Stammfunktion
      • alle anderen Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante, die bei der Subtraktion verschwindet
      • folglich ist der Satz für alle Stammfunktionen beweisen (Eindeutigkeit der Stammfunktion)
  • Zusammenfassung: F(x) = \int_a^x f(t)dt$F(x) = \int_a^x f(t)dt$ ist eine Stammfunktion von f$f$ und \int_a^b f(x) = F(b) - F(a)$\int_a^b f(x) = F(b) - F(a)$

Integrationsregeln

• Potenzregel: \int x^ndx = \frac1{n+1}x^{n+1}+C$\int x^ndx = \frac1{n+1}x^{n+1}+C$

  • Beispiel: \int x^3dx = \frac 1 4 x^4 + C$\int x^3dx = \frac 1 4 x^4 + C$

• Faktorregel: \int cf(x)dx = c\int f(x)dx$\int cf(x)dx = c\int f(x)dx$

  • Beispiel: \int 2 \cos(x)dx = 2 \int \cos(x)dx = 2 \sin(x)+C$\int 2 \cos(x)dx = 2 \int \cos(x)dx = 2 \sin(x)+C$

• Summen- / Differenzregel: \int(f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$\int(f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

  • Beispiel: \int(3x^2+4x^3)dx = \int3x^2dx + \int4x^3dx = x^3+x^4+C$\int(3x^2+4x^3)dx = \int3x^2dx + \int4x^3dx = x^3+x^4+C$

• partielle Integration (Produktintegration): sind f,g:[a,b] \to \R$f,g:[a,b] \to \R$ zwei stetig differenzierbare Funktionen auf [a,b]$[a,b]$, so gilt...

  • bestimmte Integrale:
    • \int_a^bf'(x)g(x)dx = f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bf(x)g'(x)dx$\int_a^bf'(x)g(x)dx = f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bf(x)g'(x)dx$
    • \int_a^bf(x)g'(x)dx = f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bf'(x)g(x)dx$\int_a^bf(x)g'(x)dx = f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bf'(x)g(x)dx$
  • unbestimmte Integrale:
    • \int f'(x)g(x) = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)dx$\int f'(x)g(x) = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)dx$
    • \int f(x)'g(x) = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$\int f(x)'g(x) = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$
  • Beweis:
    • seien f,g$f,g$ stetig differenzierbare Funktionen in [a,b]$[a,b]$
    • laut Produktregel gilt (f\cdot g)' = f'\cdot g + f \cdot g'$(f\cdot g)' = f'\cdot g + f \cdot g'$
    • folglich ist f\cdot g$f\cdot g$ eine Stammfunktion von (f\cdot g)' = f'\cdot g + f \cdot g'$(f\cdot g)' = f'\cdot g + f \cdot g'$
    • laut Fundamentalsatz der Analysis gilt \int_a^b[f'(x)g(x) + f(x)g'(x)]dx = [f(x)g(x)]_a^b$\int_a^b[f'(x)g(x) + f(x)g'(x)]dx = [f(x)g(x)]_a^b$
    • laut Linearität des Integrals gilt \int_a^bf'(x)g(x)dx + \int_a^bf(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b$\int_a^bf'(x)g(x)dx + \int_a^bf(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b$
    • Umformen: \int_a^bf'(x)g(x)dx = f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bf(x)g'(x)dx$\int_a^bf'(x)g(x)dx = f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bf(x)g'(x)dx$, QED
  • TIPP: wähle für f'$f'$ einen Term, der sich bei der Integration nicht (e^x$e^x$) oder nur unwesentlich (trig. Funktionen) verändert (siehe Bsp. 1)
  • TIPP: wenn nur ein Term im Integrand mit unbekannter Stammfunktion steht, füge 1 hinzu und integriere parallel (siehe Bsp. 2)
  • TIPP: wenn nach mehreren Schritten das ursprüngliche Integral wiederkehrt, kann dies durch Äquivalenzumformung bestimmt werden (siehe Bsp. 3)
  • Beispiel 1: \int_0^1xe^xdx$\int_0^1xe^xdx$
    • sei f'(x) = e^x, g(x) = x$f'(x) = e^x, g(x) = x$
    • daraus folgt f(x) = e^x, g'(x) = 1$f(x) = e^x, g'(x) = 1$, so dass...
    • \int_0^1xe^xdx = [xe^x]_0^1-\int_0^11e^xdx = [xe^x]_0^1 - [e^x]_0^1 = 1$\int_0^1xe^xdx = [xe^x]_0^1-\int_0^11e^xdx = [xe^x]_0^1 - [e^x]_0^1 = 1$
  • Beispiel 2: \int \ln(x)dx$\int \ln(x)dx$
    • füge Faktor 1 hinzu: \int1\ln(x)dx$\int1\ln(x)dx$, so dass f'(x) = 1, g(x) = \ln(x) \implies f(x) = x, g'(x) = \frac 1 x$f'(x) = 1, g(x) = \ln(x) \implies f(x) = x, g'(x) = \frac 1 x$
    • \int1\ln(x)dx = x\ln(x)-\int x\frac1xdx = x\ln(x)-\int1dx = x\ln(x)-x+C$\int1\ln(x)dx = x\ln(x)-\int x\frac1xdx = x\ln(x)-\int1dx = x\ln(x)-x+C$
  • Beispiel 3: \int \sin(x)\cos(x)dx$\int \sin(x)\cos(x)dx$
    • sei f(x) = \cos(x), g'(x) = \sin(x)$f(x) = \cos(x), g'(x) = \sin(x)$
    • daraus folgt f'(x) = -\sin(x), g(x)=-\cos(x)$f'(x) = -\sin(x), g(x)=-\cos(x)$, so dass...
    • \int \sin(x)\cos(x)dx = -\cos^2(x)-\int\sin(x)\cos(x)dx$\int \sin(x)\cos(x)dx = -\cos^2(x)-\int\sin(x)\cos(x)dx$
    • addiere das Ausgangsintegral auf beiden Seiten: 2\int\sin(x)\cos(x)dx = -\cos^2(x)$2\int\sin(x)\cos(x)dx = -\cos^2(x)$
    • dividiere durch 2: \int\sin(x)\cos(x)dx = -\frac 1 2 \cos^2(x)$\int\sin(x)\cos(x)dx = -\frac 1 2 \cos^2(x)$
    • erhalte (eine) allg. Stammfunktion: \int\sin(x)\cos(x)dx = -\frac 1 2 \cos^2(x) + C$\int\sin(x)\cos(x)dx = -\frac 1 2 \cos^2(x) + C$

• Substitutionsregel: sind f : I \to\R$f : I \to\R$ eine stetige Funktion und g: [a,b] \to I$g: [a,b] \to I$ stetig differenzierbar, so gilt...

  • \int_a^bf(g(x)) \cdot g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt$\int_a^bf(g(x)) \cdot g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt$
  • Beweis:
    • sei F$F$ eine Stammfunktion von f$f$
    • laut Kettenregel gilt (F\circ g)'(x) = [F(g(x))]' = F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x)) \cdot g'(x)$(F\circ g)'(x) = [F(g(x))]' = F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x)) \cdot g'(x)$
    • folglich ist F \circ g$F \circ g$ eine Stammfunktion von (f\circ g)\cdot g'$(f\circ g)\cdot g'$
    • laut Fundamentalsatz der Analysis gilt \int_a^bf(g(x))\cdot g'(x)dx = (F\circ g)(b) - (F\circ g)(a) = F(g(b)) - F(g(a)) = \int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt$\int_a^bf(g(x))\cdot g'(x)dx = (F\circ g)(b) - (F\circ g)(a) = F(g(b)) - F(g(a)) = \int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt$, QED
  • TIPP: wenn die Ableitung nicht offensichtlich da ist, forme Integral um und nutze Linearität (siehe Bsp. 2)
  • REZEPT - \frac{dt}{dx}$\frac{dt}{dx}$-Variante:
    • setze t'$t'$ mit \frac{dt}{dx}$\frac{dt}{dx}$ gleich
    • löse für dx$dx$, dann substituiere im Integral
  • Beispiel 1: \int_4^9(x^2-4)^3\cdot 2x dx$\int_4^9(x^2-4)^3\cdot 2x dx$
    • t = x^2-4, t' = 2x$t = x^2-4, t' = 2x$
    • Formel anwenden: \int_{4^2-4}^{9^2-4} t^3dt = [\frac 1 4 t^4]_{4^2-4}^{9^2-4} = ...$\int_{4^2-4}^{9^2-4} t^3dt = [\frac 1 4 t^4]_{4^2-4}^{9^2-4} = ...$
    • evtl. Rücksubstitution: [\frac 1 4 (x^2-4)]_4^9 = ...$[\frac 1 4 (x^2-4)]_4^9 = ...$
  • Beispiel 2: \int_4^9(x^2-4)^3\cdot 40x dx$\int_4^9(x^2-4)^3\cdot 40x dx$
    • umschreiben: \int_4^9(x^2-4)^3\cdot 2 \cdot 20x dx$\int_4^9(x^2-4)^3\cdot 2 \cdot 20x dx$
    • Linearität: 20 \cdot \int_4^9(x^2-4)^3 \cdot 2xdx$20 \cdot \int_4^9(x^2-4)^3 \cdot 2xdx$
    • analog wie Beispiel 1, nur mit 20 multipliziert...
  • Beispiel 3: \int_4^9(x^2-4)^3\cdot 40x dx$\int_4^9(x^2-4)^3\cdot 40x dx$ mit \frac{dt}{dx}$\frac{dt}{dx}$-Variante
    • t = x^2-4$t = x^2-4$
    • t' = 2x = \frac{dt}{dx} \; | \cdot dx \\= 2xdx = dt \;| :2x \\=dx = \frac{dt}{2x}$t' = 2x = \frac{dt}{dx} \; | \cdot dx \\= 2xdx = dt \;| :2x \\=dx = \frac{dt}{2x}$
    • folgt: \int_4^9(x^2-4)^340xdx = \int_{4^2-4}^{9^2-4}t^340\cancel{x}\frac{dt}{2\cancel{x}} = \int_{4^2-4}^{9^2-4}t^320dt = ...$\int_4^9(x^2-4)^340xdx = \int_{4^2-4}^{9^2-4}t^340\cancel{x}\frac{dt}{2\cancel{x}} = \int_{4^2-4}^{9^2-4}t^320dt = ...$

• uneigentliche Integrale: uneigentliche Integrale sind Integrale, die einen endlichen Wert haben, bei denen aber entweder eine Integrationsgrenze im Unendlichen liegt oder die Funktion an der Integrationsgrenze eine Singularität hat

  • erster Fall: ist f:[a, \infty)$f:[a, \infty)$ eine Funktion, die auf jedem endlichen Intervall [a,M]$[a,M]$ integrierbar ist, definiert man...
    • \int_a^\infty f(x)dx = \lim_{M \to \infty}\int_a^Mf(x)dx$\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{M \to \infty}\int_a^Mf(x)dx$ (falls der Limes existiert)
    • \int_{-\infty}^a f(x)dx = \lim_{M \to \infty}\int_{-M}^af(x)dx$\int_{-\infty}^a f(x)dx = \lim_{M \to \infty}\int_{-M}^af(x)dx$ (falls der Limes existiert)
    • Beispiel: \int_1^\infty\frac{\ln(x)}{x^2}dx$\int_1^\infty\frac{\ln(x)}{x^2}dx$
      • \int_1^M\ln(x)\frac1{x^2}dx = [-\ln(x)\frac1x]_1^M+\int_1^M\frac1{x^2}dx = \frac{-\ln(M)}M-\frac1M +1\to 1$\int_1^M\ln(x)\frac1{x^2}dx = [-\ln(x)\frac1x]_1^M+\int_1^M\frac1{x^2}dx = \frac{-\ln(M)}M-\frac1M +1\to 1$
  • zweiter Fall: ist f:(a,b] \to \R$f:(a,b] \to \R$ integrierbar auf [a+\epsilon, b]$[a+\epsilon, b]$ für jedes \epsilon \in (0,b-a)$\epsilon \in (0,b-a)$, definiert man \int_a^bf(x)dx = \lim_{\epsilon \to 0}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx$\int_a^bf(x)dx = \lim_{\epsilon \to 0}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx$ (falls der Limes existiert)
  • \int_{-\infty}^\infty f(x)dx = \int_{-\infty}^cf(x)dx + \int_c^\infty f(x)dx$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = \int_{-\infty}^cf(x)dx + \int_c^\infty f(x)dx$ (hängt nicht von c$c$ ab!)
    • Beispiel: \int_{-\infty}^\infty\frac1{1+x^2}dx$\int_{-\infty}^\infty\frac1{1+x^2}dx$
      • \int_{-\infty}^\infty\frac1{1+x^2}dx = \int_{-\infty}^0\frac1{1+x^2}dx + \int_0^\infty\frac1{1+x^2}dx \\=\lim_{M\to\infty}\int_{-M}^0\frac1{1+x^2}dx + \lim_{M\to\infty}\int_0^M\frac1{1+x^2}dx\\=\lim_{M\to\infty}[\arctan(x)]_{-M}^0 + \lim_{M\to\infty}[\arctan(x)]_0^M \\= \lim_{M\to\infty}(-\arctan(M)) + \lim_{M\to\infty}\arctan(M) \\=\frac\pi 2 + \frac\pi 2 = \pi$\int_{-\infty}^\infty\frac1{1+x^2}dx = \int_{-\infty}^0\frac1{1+x^2}dx + \int_0^\infty\frac1{1+x^2}dx \\=\lim_{M\to\infty}\int_{-M}^0\frac1{1+x^2}dx + \lim_{M\to\infty}\int_0^M\frac1{1+x^2}dx\\=\lim_{M\to\infty}[\arctan(x)]_{-M}^0 + \lim_{M\to\infty}[\arctan(x)]_0^M \\= \lim_{M\to\infty}(-\arctan(M)) + \lim_{M\to\infty}\arctan(M) \\=\frac\pi 2 + \frac\pi 2 = \pi$

Integrationstabelle

f(x)$f(x)$	F(x)$F(x)$
0$0$	C$C$
1$1$	x+C$x+C$
x$x$	\frac12x^2+C$\frac12x^2+C$
x^n$x^n$	\frac1{n+1}x^{n+1}+C$\frac1{n+1}x^{n+1}+C$
\sqrt x$\sqrt x$	\frac23x^{\frac32}+C$\frac23x^{\frac32}+C$
\sin(x)$\sin(x)$	-\cos(x)+C$-\cos(x)+C$
\cos(x)$\cos(x)$	\sin(x)+C$\sin(x)+C$
\frac1{x^2}$\frac1{x^2}$	-\frac1x+C$-\frac1x+C$
\frac1{\sqrt x}$\frac1{\sqrt x}$	2\sqrt x+C$2\sqrt x+C$
\frac 1 x$\frac 1 x$	\ln |x|+C$\ln |x|+C$
e^x$e^x$	e^x+C$e^x+C$
a^x$a^x$	\frac1{\ln a} a^x+C$\frac1{\ln a} a^x+C$
\ln(x)$\ln(x)$	x \ln (x) - x + C$x \ln (x) - x + C$

Potenzreihen und Taylorentwicklungen

• Potenzreihen: unendliche Reihen einer bestimmten Form mit einer beliebigen Folge (a_n)_{n \in \N_0}$(a_n)_{n \in \N_0}$ und einem Entwicklungspunkt a$a$ heißen Potenzreihen
  • P(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$P(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$
  • Beispiele:
    • \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$
    • \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
    • \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
    • \ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{x^k}k$\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{x^k}k$ für -1 < x \leq 1$-1 < x \leq 1$
    • (x+1)^\alpha = \sum_{k=0}^\alpha{\alpha \choose k}x^k$(x+1)^\alpha = \sum_{k=0}^\alpha{\alpha \choose k}x^k$ für \alpha \in \N$\alpha \in \N$ (siehe binomische Reihe)
      • Reminder: {n \choose k} = \begin{cases}\frac{n!}{k!(n-k)!} & \text{falls } k \leq n \\ 0 & \text{falls } k > n\end{cases}, n \in \N${n \choose k} = \begin{cases}\frac{n!}{k!(n-k)!} & \text{falls } k \leq n \\ 0 & \text{falls } k > n\end{cases}, n \in \N$
• Taylor-Formel (Satz von Taylor): eine Funktion kann in der Umgebung eines Punktes durch Taylorpolynome angenähert werden
  • Taylorpolynom: T_nf(x;a) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$T_nf(x;a) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
  • Restglied (Lagrange-Form): R_nf(x;a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$R_nf(x;a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ für \xi$\xi$ zwischen a$a$ und x$x$
  • Satz (Taylorformel mit Integralrestglied): f(x) = T_nf(x;a) + R_nf(x;a)$f(x) = T_nf(x;a) + R_nf(x;a)$
    • f(x) = \left(\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$f(x) = \left(\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
• Taylorreihe: Darstellung einer unendlich oft differenzierbaren Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe, die der Grenzwert der Taylorpolynome ist
  • Tf(x;a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$Tf(x;a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
    

Operationen mit Potenzreihen

• seien f(x) = \sum_{n= 0}^\infty a_n(x-x_0)^n$f(x) = \sum_{n= 0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ und g(x) = \sum_{n= 0}^\infty b_n(x-x_0)^n$g(x) = \sum_{n= 0}^\infty b_n(x-x_0)^n$
  • Addition: f(x) + g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n)(x-x_0)^n$f(x) + g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n)(x-x_0)^n$
  • skalare Multiplikaton: c \cdot f(x) = \sum_{n=0}^\infty(c \cdot a_n)(x-x_0)^n$c \cdot f(x) = \sum_{n=0}^\infty(c \cdot a_n)(x-x_0)^n$
  • Differentiation: f'(x) = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1}(n+1)(x-x_0)^n$f'(x) = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1}(n+1)(x-x_0)^n$
  • Integration: F(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} (x-x_0)^n}n + C$F(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} (x-x_0)^n}n + C$

Differentialrechnung im Mehrdimensionalen

• innerer Punkt (mehrdimensional): ein Element x \in D$x \in D$ heißt innerer Punkt von D \subseteq \R^d$D \subseteq \R^d$, falls es einen Ball um x$x$ gibt, der vollständig in D$D$ liegt
  • formal: \exists \epsilon > 0 \; : \; B_\epsilon(x) = \{y \in \R^d : || x - y || < \epsilon \} \subseteq D$\exists \epsilon > 0 \; : \; B_\epsilon(x) = \{y \in \R^d : || x - y || < \epsilon \} \subseteq D$
  • Abstand (mehrdimensional): ||x - y|| = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + ... + (x_d - y_d)^2}$||x - y|| = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + ... + (x_d - y_d)^2}$
  • D \subseteq \R^d$D \subseteq \R^d$ offen, falls alle Punkte in D$D$ innere Punkte sind
• Differenzierbarkeit (mehrdimensional): eine Funktion f : D \to \R, \; D \subseteq \R^d$f : D \to \R, \; D \subseteq \R^d$ heißt in a$a$ partiell nach der i$i$-ten Komponente differenzierbar, falls der Grenzwert \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,...,a_i + h,...,a_n) - f(a_1,...,a_i,...,a_n)}h$\lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,...,a_i + h,...,a_n) - f(a_1,...,a_i,...,a_n)}h$ existiert
  • Beispiel (2 Parameter):
    • \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}h$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}h$
    • \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}h$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}h$
• partielle Ableitung: die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente (während man die anderen als Konstanten betrachtet) heißt partielle Ableitung
  • Schreibweise: \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ oder \partial_{x_i}f(a)$\partial_{x_i}f(a)$ (partielle Ableitung von f$f$ nach der i$i$-ten Komponente x_i$x_i$)
  • Beispiel: sei f(x,y) = x^2+y^2-2$f(x,y) = x^2+y^2-2$
    • \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x$
    • \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = 2y$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = 2y$
  • ist f$f$ in a$a$ differenzierbar, dann ist f$f$ in a$a$ partiell nach allen Komponenten differenzierbar
  • ist f$f$ überall in D$D$ partiell nach allen Komponenten differenzierbar und sind die partiellen Ableitungen in D$D$ stetig, so ist f$f$ in D$D$ stetig differenzierbar
  • zweite partielle Ableitung: \frac{\partial^2f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)$\frac{\partial^2f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)$ (zuerst nach x_i$x_i$, dann x_j$x_j$)
    • Beispiel: f(x,y) = 3x^2+4xy+y^2$f(x,y) = 3x^2+4xy+y^2$
      • \partial_xf(x,y) = 6x+4y$\partial_xf(x,y) = 6x+4y$ bzw. \partial_yf(x,y) = 4x + 2y$\partial_yf(x,y) = 4x + 2y$
      • \partial_x \partial_x(x,y) = 6$\partial_x \partial_x(x,y) = 6$
      • \partial_y \partial_x(x,y) = 4$\partial_y \partial_x(x,y) = 4$
      • \partial_x \partial_y(x,y) = 4$\partial_x \partial_y(x,y) = 4$
      • \partial_y \partial_y(x,y) = 2$\partial_y \partial_y(x,y) = 2$
    • falls alle zweiten partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, ist f$f$ zweimal stetig differenzierbar
• stetig differenzierbar (mehrdimensional): für D \subseteq R^n$D \subseteq R^n$ offen heißt f$f$ stetig diferenzierbar, falls f$f$ überall in D$D$ differenzierbar ist und f'$f'$ eine stetige Funktion ist
• Gradient / Gradientenvektor: der Vektor bestehend aus den partiellen Ableitungen von f$f$ für jeden Parameter heißt Gradientenvektor
  • formal: \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^T$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^T$
  • Beispiel: sei f(x) = 2x^2-y^2$f(x) = 2x^2-y^2$
    • \nabla f = \begin{pmatrix}4x \\ -2y \end{pmatrix}$\nabla f = \begin{pmatrix}4x \\ -2y \end{pmatrix}$
• Hesse-Matrix: die Hesse-Matrix besteht aus allen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f$f$
  • formal: H_f(x) = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j}(x)\right) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_1}(x) & \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_2}(x) & ... & \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_n}(x) \\ \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_1}(x) & \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_2}(x) & ... & \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2f}{\partial x_n \partial x_1}(x) & \frac{\partial^2f}{\partial x_n \partial x_2}(x) & ... & \frac{\partial^2f}{\partial x_n \partial x_n}(x)\end{pmatrix}$H_f(x) = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j}(x)\right) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_1}(x) & \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_2}(x) & ... & \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_n}(x) \\ \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_1}(x) & \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_2}(x) & ... & \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2f}{\partial x_n \partial x_1}(x) & \frac{\partial^2f}{\partial x_n \partial x_2}(x) & ... & \frac{\partial^2f}{\partial x_n \partial x_n}(x)\end{pmatrix}$
  • Beispiel: sei f(x,y) = x^3+y^3-3xy$f(x,y) = x^3+y^3-3xy$
    • H_f(x) = \begin{pmatrix}6x & -3 \\ -3 & 6y \end{pmatrix}$H_f(x) = \begin{pmatrix}6x & -3 \\ -3 & 6y \end{pmatrix}$
• Satz von Schwarz: bei mehrfach stetigen differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen ist die Reihenfolge der Variablen der partiellen Ableitungen nicht entscheidend
  • \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\right)$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\right)$
• REZEPT: Bestimmung von mehrdimensionalen Extremstellen (vereinfacht, lokal):
  1. berechne partielle Ableitungen von f$f$, also \nabla f$\nabla f$
  2. bestimme die kritischen Stellen von f$f$ (Nullstellen von \nabla f$\nabla f$), also \nabla f = 0^v$\nabla f = 0^v$
  3. bestimme Hesse-Matrix H_f$H_f$
  4. setze kritische Stellen in H_f$H_f$ ein und bestimme Definitheit
     • H_f(x_0)$H_f(x_0)$ negativ definit \implies x_0$\implies x_0$ lokales Maximum
     • H_f(x_0)$H_f(x_0)$ positiv definit \implies x_0$\implies x_0$ lokales Minimum
     • H_f(x_0)$H_f(x_0)$ indefinit \implies x_0$\implies x_0$ Sattelpunkt
     • H_f(x_0)$H_f(x_0)$ semidefinit \implies$\implies$ unbestimmt

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Summary by Flavius Schmidt, ge83pux, 2024.
https://home.in.tum.de/~scfl/
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